Basisergänzungssatz < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Sa 19.11.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Ergänzen Sie die Vektoren [mm] \vec{a}_1=\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vec{a}_2=\vektor{1 \\ 0 \\ 3 \\ -1} [/mm] zu einer Basis des Vektorraums [mm] \IR^4 [/mm] |
Also ich hab ne Frage zu der Aufgabe. Müsste ich nicht zuerst gucken, ob beide Vektoren linear Unabhängig sind? Also a und b davor setzen und beides =0?
Dann hab ich ja [mm] D=(\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4) [/mm] als Basis des [mm] \IR^4. [/mm] Und jetz ist z.B. [mm] \vec{b}_1:= \vektor{1 \\ 0\\0\\0} [/mm] usw.? Und jetzt muss ich gucken, ob einer der Vektoren von [mm] \vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4 [/mm] mit [mm] \vec{a}_1 [/mm] und [mm] \vec{a}_2 [/mm] linear unabhängig sind?
Ich bedanke mich im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 So 20.11.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Ergänzen Sie die Vektoren [mm]\vec{a}_1=\vektor{1 \\
-2 \\
0 \\
1}[/mm]
> und [mm]\vec{a}_2=\vektor{1 \\
0 \\
3 \\
-1}[/mm] zu einer Basis des
> Vektorraums [mm]\IR^4[/mm]
> Also ich hab ne Frage zu der Aufgabe. Müsste ich nicht
> zuerst gucken, ob beide Vektoren linear Unabhängig sind?
> Also a und b davor setzen und beides =0?
ja, du kannst erst einmal überprüfen, ob die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Dies ist der Fall, wenn aus
[mm]\lambda_1*\vec{a}_1+\lambda_2*\vec{a}_2=0[/mm] folgt [mm]\lambda_1=\lambda_2=0[/mm].
>
> Dann hab ich ja [mm]D=(\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4)[/mm]
> als Basis des [mm]\IR^4.[/mm] Und jetz ist z.B. [mm]\vec{b}_1:= \vektor{1 \\
0\\
0\\
0}[/mm]
> usw.? Und jetzt muss ich gucken, ob einer der Vektoren von
> [mm]\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4[/mm] mit [mm]\vec{a}_1[/mm] und
> [mm]\vec{a}_2[/mm] linear unabhängig sind?
Genau, [mm](b_1,b_2,b_3,b_4)=(\vektor{1 \\
0\\
0\\
0},\vektor{0 \\
1\\
0\\
0},\vektor{0 \\
0\\
1\\
0},\vektor{0 \\
0\\
0\\
1})[/mm] bildet eine Basis des [mm]\IR^4[/mm]. Das System [mm](a_1,a_2,b_1,b_2,b_3,b_4)[/mm] ist nun ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^4[/mm], jedoch keine Basis. Eine Basis ist das kleinste Erzeugendensystem.
Du musst jetzt aus [mm](b_1,b_2,b_3,b_4)[/mm] zwei Vektoren nehmen, die jeweils zu [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] linear unabhängig sind, um [mm](a_1,a_2)[/mm] zu einer Basis zu ergänzen.
> Ich bedanke mich im Voraus!
Gruß
barsch
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