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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Jackson |
Hallo
ich habe da mal eine ganz dumme Frage zu der Aufgabe:
Sei [mm] V=\IR³, \vec{a} [/mm] = (2,-2,3), [mm] \vec{b} [/mm] = (1,2,0), [mm] \vec{c} [/mm] = (0,-6,3) [mm] \in [/mm] V U:= lin [mm] {\vec{a},\vec{b},\vec{c}}. [/mm] Bestimmen Sie eine Basis A von U und die dim von U.
Meine Idee zu dieser Aufgabe war folgende:
Ich wollte die drei Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b},\vec{c} [/mm] in eine Matrix schreiben und durch elementare Zeilenumformungen auf die Zeilenstufenform bringen, um zu sehen ob die Vektoren linear abhängig sind.
Frage an dieser Stelle jetzt: Ist es egal ob die Vektoren in die Zeilen oder Spalten einer Matrix geschrieben werden? Denn ich schreibe sie in die Zeilen, um dann direkt die linear unabhängigen Vektoren zu sehen, die die Basis bilden. Im Falle der Aufgabe sehe das so aus:
[mm] \pmat{ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -6 & 3 } [/mm] Durch Zeilenumformungen bekomme ich dann die Matrix [mm] \pmat{ 2 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Daraus folgere ich, dass der Erste und Zweite Vektor linear unabhängig sind und diese beiden ein Basis A von U bilden mit A = lin [mm] {\vektor{2 \\ -2 \\ 3}, \vektor{0 \\ 2 \\ -1}}.
[/mm]
Ist das Ergebnis falsch, weil ich die Vektoren als Spalten der Matrix nehmen muss, oder kann man das auch nach dem oben gezeigten Weg rechnen? Wenn das nicht richtig ist, warum bekomme ich dann ein richtiges Ergebnis, Zufall?
Wäre sehr dankbar um jede Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jackson!
Wenn du die Vektoren in die Spalten schreibst und dann elementare Zeilenumformungen machst, dann bekommst du auf jeden Fall den richtigen Rang aus (also die größtmögliche Anzahl der linear unabhängigen Vektoren des von deinen ursprünglichen Vektoren aufgespannten Unterraums).
Es kann aber passieren, dass du deinen Spaltenraum durch elemenare Zeilenumformungen zerstörst, sprich dass die Spaltenvektoren nach den elementaren Zeilenumformungen gar nicht mehr in dem ursprünglichen Unterraum liegen und damit dann erst recht keine Basis desselben bilden.
Wenn du also die Vektoren in die Spalten schreibst, dann musst du konsequenterweise auch elementare Spaltenumformungen durchführen.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Jackson |
Hallo Julius,
vielen Dank erstmal für deine Hilfe.
Also wenn ich deine Antwort richtig verstehe, ist es doch richtig wenn ich die Vektoren in die Zeilen einer Matrix schreibe und elementare Zeilenumformungen mache. Dadurch bekomme ich dann dir richtigen linear unabhängigen Vektoren, die dann meine Basis bilden.
Sollte ich die Vektoren als Spalten schreiben, muss ich auch elementare Spaltenumformungen machen. Das heisst es kann nicht falsch sein, wenn ich nach meiner Methode vorgehe.
Nochmals Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jackson!
Ja, das hast du vollkommen richtig verstanden!! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Julius
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