Basis von einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Di 29.01.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | 1)
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 3 } [/mm]
Wie kann ich die Basis von dieser MAtrix (bzw von irgendeiner Matrix bestimmen?
Wenn die drei Spaltenvektoren linear unabhängig sind? Könnte man dann daraus folgern, dass die Spaltenvektoren eine Basis bilden?
bzw warum kann ich, wenn die
Basis b={ [mm] \vektor{4 \\ 3 \\5} [/mm] , [mm] e_2 [/mm] , [mm] e_3} [/mm] die einfach als eine Matrix
[mm] \pmat{ 4 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
packen. Weil ich weiß dass die drei Vektoren linear unabhängig sind?
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Hallo,
ich kann nicht verhehlen, daß mir schon Deine Überschrift Schauder des Entsetzens über den Rücken jagt:
Matrizen haben keine Basis!!!
Die Dinger, die Basen haben und folglich auch eine Dimension, sind die Vektorräume.
Da ich nicht auf dem Mond lebe, ahne ich natürlich, was Du meinst: Du möchtest über das Bild einer Matrix sprechen, gell? (Dann tu das auch und bring Dich nicht selbst durch Formulierungswirrwarr durcheinander und in der Prüfung um Kopf und Kragen.)
> 1)
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 3 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wie kann ich die Basis von dieser MAtrix (bzw von
> irgendeiner Matrix bestimmen?
Wie gesagt: gar nicht...
Das Bild dieser Matrix ist der Raum, der durch die Spalten der Matrix aufgespannt wird.
Seine Basis bekommst Du mit der Methode, mit der Du immer die Basis eines v. einigen Vektoren aufgespannten Raumes bestimmst.
Hierzu hat man mehrere Möglichkeiten, ich weiß nicht, welche Du verwendest.
Ein Möglichkeit: die Matrix auf Zeilenstufenform bringen. Damit kann man den Rang der Matrix= die Dimension ihres Bildes ablesen, und sogar, welche der Startvektoren seine Basis bilden. Es sind die, die in den Spalten standen, wo in der Zeilenstufenform die Pivotelemente (führende Elemente der Zeilen) sind.
Vielleicht formst Du mal eine Matrix in ZSF um, dann kann man Dir das zeigen, falls Du's noch nicht weißt.
> Wenn die drei Spaltenvektoren linear unabhängig sind?
> Könnte man dann daraus folgern, dass die Spaltenvektoren
> eine Basis bilden?
Ja, sicher.
Aber es kommt der Tag, an dem die Spalten nicht unabhängig sind, auch dann hat das Bild eine Basis, welche man z.B. wie oben erwähnt finden kann.
>
> bzw warum kann ich, wenn die
> Basis b={ [mm]\vektor{4 \\ 3 \\5}[/mm] , [mm]e_2[/mm] , [mm]e_3}[/mm] die einfach als
> eine Matrix
> [mm]\pmat{ 4 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> packen. Weil ich weiß dass die drei Vektoren linear
> unabhängig sind?
Tut mir leid, ich kann nicht folgen.
Was willst Du hier weshalb wofür tun? Worum geht's? Ich kapier's nicht.
Möglicherweise geht's um ein anderes Verfahren zu Bestimmung einer Basis des v. einigen Vektoren aufgespannten Raumes. (?)
Du kannst die Vektoren auch in eine Matrix legen, auf ZSF bringen.
Wenn Du dann die verbliebenen Zeilen wieder aufrichtest, hast Du eine Basis des Bildes.
Meinstest Du das?
Gruß v. Angela
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