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ich soll für folgende zwei vektoren einen dritten vektor finden, so dass diese drei vektoren eine basis des [mm] \IR^{3} [/mm] bilden:
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
was ich weiß: damit die vektoren eine basis bilden müssen
1. sie linear unabhängig sein
2. alle vektoren von [mm] \IR^{3} [/mm] müssen durch eine linearkombination dieser vektoren dargestellt werden können
ich hab einfach eine annahme für den 3. vektor getroffen:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
durch darstellung der vektoren als matrix und umformung zu einer oberen dreiecksmatrix kann ich zeigen dass sie linear unabhängig sind. aber wie zeige ich punkt 2?
umformung zu einer oberen dreiecksmatrix ergibt:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 9 }
[/mm]
danke für eure hilfe!
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Am besten erledigt man solche Aufgaben so, dass man von der Standardbasis ausgeht und dann sukzessive das Basisaustauschlemma anwendet.
Sind in einem $n$-dimensionalen Vektorraum $n$ Vektoren linear unabhängig, so bilden sie automatisch eine Basis.
Eine Basis ist eine maximale Familie linear unabhängiger Vektoren.
Hier ist also nichts mehr zu zeigen...
Liebe Grüße
Stefan
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jetzt bin ich ein wenig verwirrt. wenn der dritte vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] wäre dann ergibt sich daraus ja folgendes:
eine nichttriviale linearkombination
a * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] + b * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + c * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = 0
würde in diesem fall existieren (zb: a=1, b=1, c=-2). und wenn eine solche exisitiert sind die vektoren ja nicht linear unabhängig. sie können also auch nicht die basis bilden.
habe ich da etwas falsch verstanden?
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
(Aber nicht meinen Trick mit dem Austauschlemma; der bleibt richtig. 
)
