Basis vom Schnitt berechnen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Sa 08.10.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Seien $ [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ -1}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 4}, v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -4 \\ 1}, v_4 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 3} \in \IZ^3 [/mm] $
Berechne [mm] $Spann_{\IZ}(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}(v_1,v_2)$. [/mm] |
Hey, ich weiss, dass man das über die Hermithnormalform ganz schnell machen kann.
Packe ich [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_4 [/mm] in eine Matrix und forme in HNF um, erhalte ich:
HNF = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 }
[/mm]
Kann mir einer erklären, wie man nun den Schnitt berechnen kann und warum das funktioniert.
Vielen Dank
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> Seien [mm]v_1 = \vektor{-1 \\ 0 \\ -1}, v_2 = \vektor{3 \\ 1 \\ 4}, v_3 = \vektor{0 \\ -4 \\ 1}, v_4 = \vektor{1 \\ -3 \\ 3} \in \IZ^3[/mm]
Sind wirklich Vektoren in [mm] \IZ^3 [/mm] (und nicht etwa in [mm] \IR^3) [/mm] gemeint ?
[mm] \IZ^3 [/mm] ist nicht einmal ein Vektorraum !
> Berechne [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}(v_1,v_2)[/mm].
Und auch hier: meinst du wirklich das, was du schreibst ?
Wenn ja, kannst du die Vektoren [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] sofort vergessen
und dich einfach um [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2)[/mm] kümmern !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 09.10.2011 | | Autor: | diddy449 |
> > Seien [mm]v_1 = \vektor{-1 \\ 0 \\ -1}, v_2 = \vektor{3 \\ 1 \\ 4}, v_3 = \vektor{0 \\ -4 \\ 1}, v_4 = \vektor{1 \\ -3 \\ 3} \in \IZ^3[/mm]
>
> Sind wirklich Vektoren in [mm]\IZ^3[/mm] (und nicht etwa in [mm]\IR^3)[/mm]
> gemeint ?
>
> [mm]\IZ^3[/mm] ist nicht einmal ein Vektorraum !
Es ist wirklich [mm] \IZ^3 [/mm] gemeint, dieser ist ja ein [mm] \IZ [/mm] - Modul.
>
> > Berechne [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}(v_1,v_2)[/mm].
>
> Und auch hier: meinst du wirklich das, was du schreibst ?
Ja
>
> Wenn ja, kannst du die Vektoren [mm]v_3[/mm] und [mm]v_4[/mm] sofort
> vergessen
> und dich einfach um [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2)[/mm] kümmern !
>
Das ist mir nicht klar.
Ich habe die Aufgabe auch über folgendes LGS gelöst:
Für alle x aus dem Schnitt gibt es [mm] a_i [/mm] mit i = 1,2,3,4 sodass x = [mm] a_1*v_1+a_2*v_2 [/mm] = [mm] a_3*v_3+a_4*v_4 [/mm] ist.
Ich erhalte dann durch Auflösen alle [mm] a_i [/mm] und dann durch einsetzen, dass [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}(v_1,v_2)[/mm] = [mm] Spann_{\IZ}(\vektor{1 \\ 1 \\ 2}) [/mm] ist.
Ich weiss nicht, wie ich dies nur durch betrachten von [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2)[/mm] rausbekommen sollte.
Gibt es nicht eine Methode den Schnitt über die Hermithnormalform herauszufinden?
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> > > Berechne [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}(v_1,v_2)[/mm].
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> > Und auch hier: meinst du wirklich das, was du schreibst ?
>
> Ja
>
> > Wenn ja, kannst du die Vektoren [mm]v_3[/mm] und [mm]v_4[/mm] sofort
> > vergessen
> > und dich einfach um [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2)[/mm] kümmern !
> >
>
> Das ist mir nicht klar.
Im Ausdruck $ [mm] Spann_{\IZ}(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}(v_1,v_2) [/mm] $
sehe ich nur [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] (je zweimal), nichts von [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 09.10.2011 | | Autor: | diddy449 |
oh verzeihung, hab ich völlig überlesen, es ist natürlich
$ [mm] Spann_{\IZ}(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}(v_3,v_4) [/mm] $
gemeint.
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> oh verzeihung, hab ich völlig überlesen, es ist
> natürlich
> [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}(v_3,v_4)[/mm]
> gemeint.
OK, ist also die Münze gefallen ... 
Ich denke, dass man wohl nicht einfach die ganze Matrix
auf HNF bringen sollte, sondern zuerst ihre beiden
Hälften, welche je einem Paar von Vektoren [mm] (v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm]
bzw. [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4) [/mm] entsprechen, also:
[mm] $\pmat{-1&3\\0&1\\-1&4}\quad --->\quad\pmat{1&0\\0&1\\1&1}$
[/mm]
[mm] $\pmat{0&1\\-4&-3\\1&3}\quad --->\quad\pmat{?&?\\?&?\\?&?}$
[/mm]
Aufgrund dieser Darstellung kann man dann möglicher-
weise die Schnittmenge der erzeugten Mengen ermitteln.
LG Al-Chw.
Nachbemerkung:
So geht es wohl doch nicht, da die betrachteten Teil-
matrizen gar nicht die notwendige Form und den not-
wendigen Rang haben, um für die Transformation zur
HNF in Frage zu kommen ...
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> Seien [mm]v_1 = \vektor{-1 \\ 0 \\ -1}, v_2 = \vektor{3 \\ 1 \\ 4}, v_3 = \vektor{0 \\ -4 \\ 1}, v_4 = \vektor{1 \\ -3 \\ 3} \in \IZ^3[/mm]
>
> Berechne [mm]Spann_{\IZ}(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}(v_3,v_4)[/mm].
>
> Hey, ich weiss, dass man das über die Hermithnormalform
> ganz schnell machen kann.
Der Herr hieß nicht Hermith und nicht Kermit, sondern ![[]](/images/popup.gif) Hermite.
> Packe ich [mm]v_1[/mm] bis [mm]v_4[/mm] in eine Matrix und forme in HNF um,
> erhalte ich:
>
> HNF = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 }[/mm]
>
> Kann mir einer erklären, wie man nun den Schnitt berechnen
> kann und warum das funktioniert.
>
> Vielen Dank
Hallo diddy,
Nennen wir einmal die ursprüngliche Matrix V und die trans-
formierte (in Hermite-Normalform) H:
$\ V\ =\ [mm] \pmat{-1&3&0&1\\0&1&-4&-3\\-1&4&1&3}$ [/mm]
$\ H\ =\ [mm] \pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&1&5&0}$
[/mm]
Stellt man die Spaltenvektoren [mm] v_k [/mm] von V als Linearkombinationen
der Spaltenvektoren [mm] h_k [/mm] von H dar, so ergibt sich:
[mm] $v_1\ [/mm] =\ [mm] -h_1$
[/mm]
[mm] $v_2\ [/mm] =\ [mm] 3\,h_1+h_2$
[/mm]
[mm] $v_3\ [/mm] =\ [mm] -4\,h_2+h_3$
[/mm]
[mm] $v_4\ [/mm] =\ [mm] h_1-3\,h_2+h_3$
[/mm]
Nun sei weiter [mm] V_{12}:=Spann_{\IZ}(v_1,v_2) [/mm] und [mm] V_{34}:=Spann_{\IZ}(v_3,v_4) [/mm]
sowie [mm] H_{12}:=Spann_{\IZ}(h_1,h_2).
[/mm]
Man kann leicht feststellen, dass [mm] V_{12}=H_{12} [/mm] ist.
Da [mm] {h_1,h_2,h_3} [/mm] eine linear unabhängige Menge bilden,
muss in jeder LK der Form [mm] \summe_{i=1}^{3}x_i*h_i [/mm] , welche [mm] V_{12} [/mm] und
damit auch [mm] H_{12} [/mm] angehört, [mm] x_3=0 [/mm] sein.
Jedes Element d der Schnittmenge [mm] D=V_{12}\cap{V_{34}} [/mm] muss natürlich
eine ganzzahlige LK von [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] sein, also
$\ d\ =\ [mm] m*v_3+n*v_4$ [/mm] mit [mm] m,n\in\IZ
[/mm]
$\ d\ =\ [mm] m*(-4\,h_2+h_3)+n*(h_1-3\,h_2+h_3)$ [/mm] mit [mm] m,n\in\IZ
[/mm]
Die letztere LK gehört aber dann und nur dann auch zu [mm] V_{12} [/mm] ,
wenn der Faktor von [mm] h_3 [/mm] verschwindet, also muss $\ m+n\ =\ 0$ sein.
Der zur gesuchten Schnittmenge D gehörige Vektor d ist dann,
mittels n ausgedrückt:
$\ d\ =\ [mm] (-n)*(-4\,h_2+h_3)+n*(h_1-3\,h_2+h_3)$ [/mm] mit [mm] n\in\IZ
[/mm]
Dies vereinfacht sich zu
$\ d\ =\ [mm] n*(h_1+h_2)$ [/mm] mit [mm] n\in\IZ
[/mm]
Also ist $\ [mm] h_1+h_2\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\1\\2}$
[/mm]
ein erzeugender Vektor der gesuchten Schnittmenge. Diese ist
also eindimensional:
$\ D\ =\ [mm] Spann_{\IZ}\,(v_1,v_2) \cap Spann_{\IZ}\,(v_3,v_4)\ [/mm] =\ [mm] \left\{\ n*\pmat{1\\1\\2}\quad ;\quad n\in\IN\ \right\}$
[/mm]
Ob das Ganze auch wesentlich einfacher zu machen wäre, weiß
ich nicht. Ich habe so etwas hier zum ersten Mal angetroffen.
Überhaupt wäre ich froh, wenn jetzt jemand meine Rechnungen
kontrolliert, der sich im Thema auskennt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Mo 10.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ob das Ganze auch wesentlich einfacher zu machen wäre,
> weiß
> ich nicht. Ich habe so etwas hier zum ersten Mal
> angetroffen.
> Überhaupt wäre ich froh, wenn jetzt jemand meine
> Rechnungen
> kontrolliert, der sich im Thema auskennt.
Das Standardverfahren geht so (genauso wie bei Vektorraeumen):
Angenommen es ist $U = [mm] span(u_1, \dots, u_n)$ [/mm] und $V = [mm] span(v_1, \dots, v_m)$ [/mm] mit [mm] $u_1, \dots, u_n, v_1, \dots, v_n \in R^k$ [/mm] und man moechte $U [mm] \cap [/mm] V$ bestimmen (die Spaenne sind ueber einem kommutativen Ring mit Eins $R$).
Nun ist $U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \{ (u_1, \dots, u_n) x \mid (x, y) \in \ker A \}$, [/mm] wobei $A$ die Matrix $A = [mm] \pmat{ u_1 & \cdots & u_n & v_1 & \cdots & v_m }$ [/mm] ist (mit den Vektoren als Spalten).
Um also $U [mm] \cap [/mm] V$ zu bestimmen, muss man [mm] $\ker [/mm] A$ bestimmen. Ist $R$ ein Koerper, so macht man das wie gewohnt mit Gauss-Elimination. Ueber beliebigen Ringen wird das schwierig; ist der Ring zufaellig ein euklidischer Ring (sollte eigentlich auch ueber Hauptidealbereichen oder noch allgemeiner gehen), so kann man die Hermite-Normalform der Matrix berechnen und damit den Kern bestimmen.
Die Hermite-Normalform braucht man hier (in dieser konkreten Aufgabe) also hauptsaechlich zum Bestimmen des Kerns.
Hat man ein Erzeugendensystem des Kerns, kann man durch Abschneiden der hinteren $m$ Koordinaten ein Erzeugendensystem von $U [mm] \cap [/mm] V$ bestimmen, und dann nochmal durch Hermite-Normalform berechnen (zumindest bei geeigneten Ringen $R$) eine Basis vom Modul $U [mm] \cap [/mm] V$.
LG Felix
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