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| Aufgabe | Eine lineare Abbildung [mm] f_A: \IR^{4} [/mm] -> [mm] \IR^{4} [/mm] sei gegeben durch
[mm] f_A \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 } [/mm] * [mm] \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm]
a= Bestimmen Sie je eine Basis vom Kern und vom Bild der Abbildung.
b) Welche Dimension hat der von den Vektoren [mm] f_A \vektor{ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] f_A \vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3} [/mm] erzeugte Bildraum? |
Hallo,
ich habe die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 } [/mm] in die Dreiecksform gebracht
...
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Wie man sieht, hat die Matrix den Rang 3
Nach der Formel dim [mm] \IR^{4} [/mm] = rang f + dim (ker f) , mit rang f = 3
ist die Dimension des Kerns 1.
Wie geht es jetzt weiter?
Vielen Dank im Voraus .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Mi 08.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Eine lineare Abbildung [mm]f_A: \IR^{4}[/mm] -> [mm]\IR^{4}[/mm] sei gegeben
> durch
> [mm]f_A \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 }[/mm]
> * [mm]\vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
>
> a= Bestimmen Sie je eine Basis vom Kern und vom Bild der
> Abbildung.
>
> b) Welche Dimension hat der von den Vektoren [mm]f_A \vektor{ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und [mm]f_A \vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3}[/mm] erzeugte Bildraum?
> Hallo,
>
> ich habe die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 }[/mm]
> in die Dreiecksform gebracht
>
> ...
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Wie man sieht, hat die Matrix den Rang 3
>
> Nach der Formel dim [mm]\IR^{4}[/mm] = rang f + dim (ker f) , mit
> rang f = 3
>
> ist die Dimension des Kerns 1.
>
> Wie geht es jetzt weiter?
Bestimme den Kern und das Bild der obigen Abbildung und dann je eine Basis dieser Räume
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus .
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Hallo nochmal,
also wir haben ja quasi ein Gleichungssystem mit A *x = [mm] \vec{0} [/mm] x mit = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}
[/mm]
A sieht nach den elementaren Zeilenumformungen so aus:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] =
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] 0x_3 [/mm] + [mm] x_4= [/mm] 0
[mm] 0x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 -2x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] -5x_3 [/mm] = 0
[mm] 0x_4= [/mm] 0
Für [mm] x_4 [/mm] kann ich alle beliebigen Zahlen in [mm] \IR [/mm] einsetzen. Also sei [mm] x_4 [/mm] = r , r [mm] \in \IR
[/mm]
Dann ist [mm] x_3 [/mm] = 0
dann ist [mm] x_2 [/mm] = [mm] -\bruch{r}{2} [/mm] wegen zweiter Gleichung ( [mm] 2x_2 [/mm] + r = 0)
dann ist auch [mm] x_1 [/mm] = - [mm] \bruch{r}{2} [/mm] ( wegen [mm] x_1 [/mm] + [mm] \bruch{r}{2}+r [/mm] =0)
Wie sieht also mein Kern aus?
ker f = [mm] \vektor{- \bruch{r}{2} \\- \bruch{r}{2} \\ 0 \\ r } [/mm] r [mm] \in \IR [/mm] ?
also ker f = r* [mm] \vektor{ \bruch{-1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Das ist doch auch gleichzeitig die Basis oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mi 08.06.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo nochmal,
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> also wir haben ja quasi ein Gleichungssystem mit A *x =
> [mm]\vec{0}[/mm] x mit = [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
>
> A sieht nach den elementaren Zeilenumformungen so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] =
>
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]0x_3[/mm] + [mm]x_4=[/mm] 0
> [mm]0x_1[/mm] + [mm]2x_2 -2x_3[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]-5x_3[/mm] = 0
> [mm]0x_4=[/mm] 0
>
> Für [mm]x_4[/mm] kann ich alle beliebigen Zahlen in [mm]\IR[/mm] einsetzen.
> Also sei [mm]x_4[/mm] = r , r [mm]\in \IR[/mm]
>
> Dann ist [mm]x_3[/mm] = 0
> dann ist [mm]x_2[/mm] = [mm]-\bruch{r}{2}[/mm] wegen zweiter Gleichung (
> [mm]2x_2[/mm] + r = 0)
> dann ist auch [mm]x_1[/mm] = - [mm]\bruch{r}{2}[/mm] ( wegen [mm]x_1[/mm] +
> [mm]\bruch{r}{2}+r[/mm] =0)
>
> Wie sieht also mein Kern aus?
>
> ker f = [mm]\vektor{- \bruch{r}{2} \\- \bruch{r}{2} \\ 0 \\ r }[/mm]
> r [mm]\in \IR[/mm] ?
>
> also ker f = r* [mm]\vektor{ \bruch{-1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> Das ist doch auch gleichzeitig die Basis oder?
Wenn Deine Rechnung stimmt - was ich nicht nachgerechnet habe - dann ist [mm] $\ker [/mm] f$ die Menge der Vektoren, die Vielfache des Vektors [mm] $\vektor{ \bruch{-1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 }$ [/mm] sind:
[mm] $\ker [/mm] f= [mm] \{r* \vektor{ \bruch{-1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 }|r\in \IR\}$ [/mm] (oder kürzer [mm] $\ker [/mm] f= [mm] \IR \vektor{ \bruch{-1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 }$).
[/mm]
Die einelementige Menge [mm] $\{\vektor{ \bruch{-1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 }\}$ [/mm] ist eine Basis dieses Raumes.
>
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Vielen Dank für die Antwort.
Ich habe die Probe gemacht, ich habe den Vektor mit der Matrix multipliziert und es kam der Nullvektor raus. Da ich zuvor gezeigt habe, dass der Kern die Dimension 1 hat, kann also auch nur dieser Vektor die Basis des Kerns sein.
Noch mal zum Bild: Um das Bild der Matrix zu berechnen, habe ich die Matrix transponiert, diese transponierte Matrix in die Zeilenstufenform gebracht, dann habe ich es noch einmal transponiert und die Spalten dieser zweiten transponierten Matrix sind dann die Bilder der ursprünglichen Matrix.
Das Bild ist also die lineare Hülle dieser Spalten, und da diese Spalten (es sind 3) linear unabhängig sind, stellen diese auch eine Basis dar, die Dimension 3 haben, da der Rang der Matrix Dimension 3 hat.
Damit wäre ich fertig, oder ?
Zur zweiten Teilaufgabe, dort steht:
Welche Dimension hat der von den Vektoren $ [mm] f_A \vektor{ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ und $ [mm] f_A \vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3} [/mm] $ erzeugte Bildraum?
die lineare Abbildung: $ [mm] f_A \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 } [/mm] $ * $ [mm] \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] $
Hier muss ich einfach diese beiden Vektoren in die Abbildung einsetzen, ausrechenn und dann kommen da doch zwei Vektoren raus, die dann Dimension 2 haben.
Ich habe da nämlich [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 6 \\ 14} [/mm] und [mm] \vektor{6 \\ -1 \\ 6 \\ 15} [/mm] raus. Diese beiden Vektoren sind linear unabhängig, sind also eine Basis des Bildes.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Do 09.06.2016 | | Autor: | hippias |
Du bringst ständig Begriffe durcheinander und drückst Dich sehr ungenau aus: diese Nachlässigkeit kann sich rächen.
> Vielen Dank für die Antwort.
>
> Ich habe die Probe gemacht, ich habe den Vektor mit der
> Matrix multipliziert und es kam der Nullvektor raus. Da ich
> zuvor gezeigt habe, dass der Kern die Dimension 1 hat, kann
> also auch nur dieser Vektor die Basis des Kerns sein.
Nein: 1. es kann viele Basen geben 2. Vektoren sind keine Basen, sondern allenfalls Elemente von Basen. Auf diese fehlerhafte Ausdrucksweise habe ich Dich schon aufmerksam gemacht.
>
> Noch mal zum Bild: Um das Bild der Matrix zu berechnen,
> habe ich die Matrix transponiert, diese transponierte
> Matrix in die Zeilenstufenform gebracht, dann habe ich es
> noch einmal transponiert und die Spalten dieser zweiten
> transponierten Matrix sind dann die Bilder der
> ursprünglichen Matrix.
>
> Das Bild ist also die lineare Hülle dieser Spalten, und da
> diese Spalten (es sind 3) linear unabhängig sind, stellen
> diese auch eine Basis dar, die Dimension 3 haben, da der
> Rang der Matrix Dimension 3 hat.
>
> Damit wäre ich fertig, oder ?
So kann man das machen.
>
> Zur zweiten Teilaufgabe, dort steht:
>
> Welche Dimension hat der von den Vektoren [mm]f_A \vektor{ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und [mm]f_A \vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3}[/mm] erzeugte Bildraum?
>
> die lineare Abbildung: [mm]f_A \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 }[/mm]
> * [mm]\vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
>
> Hier muss ich einfach diese beiden Vektoren in die
> Abbildung einsetzen, ausrechenn und dann kommen da doch
> zwei Vektoren raus, die dann Dimension 2 haben.
S.o.
>
> Ich habe da nämlich [mm]\vektor{4 \\ -1 \\ 6 \\ 14}[/mm] und
> [mm]\vektor{6 \\ -1 \\ 6 \\ 15}[/mm] raus. Diese beiden Vektoren
> sind linear unabhängig,
Wenn die Rechnung stimmt, ist die Schlussfolgerung richtig.
> sind also eine Basis des Bildes.
Nein, sie bilden keine Basis des Bildes.
>
>
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Do 09.06.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Ahh, ich verstehe.
Die Menge der Vektoren, sprich die Lineare Hülle ist eine Basis.
So wie beim Kern: r* [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1}, [/mm] alle Vielfachen dieses Vektors sind Elemente einer Basis. Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.
EDIT: Bitte die Frage als Mitteilung deklarieren, Entschuldigung.
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