Basis vergrößern < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $V$ ein Vektorraum mit Basis
$ B := [mm] \{v_1,\ldots,v_n\} [/mm] $.
Sei $ W [mm] \subseteq [/mm] V $ ein linearer Unterraum von $V$. Nimm an, dass $ dim(W) < m $. Zeige, dass jede Basis von $W$ ausgeweitet werden kann (mit Elementen aus $B$) zu einer Basis von $V$. |
Hallo zusammen,
ich habe erst mal festgelegt, dass
$ dim(W) = m < n $,
was mir erlaubt, die folgende Basis für $W$ zu definieren:
$ [mm] B_w [/mm] := [mm] \{w_1, \ldots, w_m\} [/mm] $.
Jetzt will ich diese Basis aus der Basis von $W$ mithilfe von Elementen aus der Basis von $V$ zu einer anderen Basis von $V$ machen. Dann kriege ich also ( [mm] $B_n$ [/mm] = neue Basis):
$ [mm] B_n [/mm] := [mm] \{w_1,\ldots,w_m,v_1,\ldots,v_{n-m}\} [/mm] $.
Jetzt muss ich schauen, ob diese Basis sowohl ein Erzeugendensystem als auch linearunabhängig ist. Ich fange mit der linearen Unabhängigkeit an.
Dafür muss ich zeigen, dass die folgende Gleichung nur lösbar ist, wenn alle [mm] $a_i \in \IR$ [/mm] und alle [mm] $b_j \in \IR$ [/mm] null sind:
$ [mm] (a_1w_1+\ldots+a_mw_m)+(b_1v_1+\ldots+b_{n-m}v_{n-m}) [/mm] = 0$.
Wir wissen ja, dass $ [mm] (a_1w_1+\ldots+a_mw_m) [/mm] $ eine Basis ist von $W$ und $ [mm] (b_1v_1+\ldots+b_{n-m}v_{n-m}) [/mm] $ eine Basis von $V$, d.h. sie müssen beide linear unabhängig sein. Die einzige Lösung für die Gleichung oben ist also, wenn $ [mm] a_i [/mm] = [mm] b_j [/mm] = 0$ (wenn man das so schreiben darf).
Zum Erzeugendensystem: Ich will eine neue Basis für $V$, d.h. ein Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ muss erzeugt werden können, sodass gilt:
$ [mm] (\star) \quad [/mm] v = [mm] (a_1w_1+\ldots+a_m_w)+(b_1v_1+\ldots+b_{n-m}v_{n-m}) [/mm] $,
für alle $ [mm] a_i, b_j \in \IR$. [/mm] Die Terme in den ersten Klammern bilden ja eine Basis für $W$, weshalb jedes Element $w [mm] \in [/mm] W$ geschrieben werden kann als
$ v = [mm] (a_1w_1+\ldots+a_m_w) [/mm] $,
für [mm] $a_i \in \IR$. [/mm] Die Gleichung [mm] (\star) [/mm] kann man also umschreiben als
$ v = w + [mm] (b_1v_1+\ldots+b_{n-m}v_{n-m}) [/mm] $.
Jetzt hänge ich aber fest. Vielleicht könnte mir hier jemand helfen und die anderen Schritte auch noch kommentieren.
Vielen Dank schon mal im Voraus :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mi 08.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> Hallo zusammen,
>
> ich habe erst mal festgelegt, dass
>
> [mm]dim(W) = m < n [/mm],
>
> was mir erlaubt, die folgende Basis für [mm]W[/mm] zu definieren:
>
> [mm]B_w := \{w_1, \ldots, w_m\} [/mm].
>
> Jetzt will ich diese Basis aus der Basis von [mm]W[/mm] mithilfe von
> Elementen aus der Basis von [mm]V[/mm] zu einer anderen Basis von [mm]V[/mm]
> machen. Dann kriege ich also ( [mm]B_n[/mm] = neue Basis):
>
> [mm]B_n := \{w_1,\ldots,w_m,v_1,\ldots,v_{n-m}\} [/mm].
Was sind denn hier die [mm] $v_i$?
[/mm]
>
> Jetzt muss ich schauen, ob diese Basis sowohl ein
> Erzeugendensystem als auch linearunabhängig ist. Ich fange
> mit der linearen Unabhängigkeit an.
>
> Dafür muss ich zeigen, dass die folgende Gleichung nur
> lösbar ist, wenn alle [mm]a_i \in \IR[/mm] und alle [mm]b_j \in \IR[/mm]
> null sind:
>
> [mm](a_1w_1+\ldots+a_mw_m)+(b_1v_1+\ldots+b_{n-m}v_{n-m}) = 0[/mm].
>
> Wir wissen ja, dass [mm](a_1w_1+\ldots+a_mw_m)[/mm] eine Basis ist
> von [mm]W[/mm] und [mm](b_1v_1+\ldots+b_{n-m}v_{n-m})[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm],
Ich kann mir zwar vorstellen, was du meinst, aber selbst dann ist es falsch. [mm] $(v_1,...,v_{n-m})$ [/mm] ist keine Basis von V.
> d.h. sie müssen beide linear unabhängig sein. Die einzige
> Lösung für die Gleichung oben ist also, wenn [mm]a_i = b_j = 0[/mm]
> (wenn man das so schreiben darf).
Wenn du [mm] $v_i$ [/mm] ungünstig wählst ist das auch falsch.
>
> Zum Erzeugendensystem: Ich will eine neue Basis für [mm]V[/mm],
> d.h. ein Vektor [mm]v \in V[/mm] muss erzeugt werden können, sodass
> gilt:
>
> [mm](\star) \quad v = (a_1w_1+\ldots+a_m_w)+(b_1v_1+\ldots+b_{n-m}v_{n-m}) [/mm],
>
> für alle [mm]a_i, b_j \in \IR[/mm]. Die Terme in den ersten
> Klammern bilden ja eine Basis für [mm]W[/mm], weshalb jedes Element
> [mm]w \in W[/mm] geschrieben werden kann als
>
> [mm]v = (a_1w_1+\ldots+a_m_w) [/mm],
>
> für [mm]a_i \in \IR[/mm]. Die Gleichung [mm](\star)[/mm] kann man also
> umschreiben als
>
> [mm]v = w + (b_1v_1+\ldots+b_{n-m}v_{n-m}) [/mm].
>
> Jetzt hänge ich aber fest. Vielleicht könnte mir hier
> jemand helfen und die anderen Schritte auch noch
> kommentieren.
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus :)
>
>
Idee: Konstruiere ein maximales linear unabhängiges System.
Schritt 1: Wähle [mm] $v\in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] W$ (gibt es sowas?) und betrachte [mm] $B_v=B \cup \{v\}$, [/mm] wo B eine Basis von W ist. Ist [mm] $B_v$ [/mm] ein linear unabhängiges System?
Schritt 2: ...
Liebe Grüße
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Hallo,
>
> Idee: Konstruiere ein maximales linear unabhängiges
> System.
> Schritt 1: Wähle [mm]v\in V \backslash W[/mm] (gibt es sowas?) und
> betrachte [mm]B_v=B \cup \{v\}[/mm], wo B eine Basis von W ist. Ist
> [mm]B_v[/mm] ein linear unabhängiges System?
> Schritt 2: ...
>
> Liebe Grüße
Ok, dann hab ich also die neue Basis [mm] B_n [/mm]
$ [mm] B_n [/mm] := [mm] \{w_1,\ldots,w_m,v\} [/mm] $.
Da $ [mm] \{w_1,\ldots,w_m\} [/mm] $ ja schon eine Basis und somit linear unabhängig ist, muss der Koeffizient vor $v$ in der Gleichung
$ [mm] a_1w_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_mw_m [/mm] + bv = 0, [mm] a_i, [/mm] b [mm] \in \IR$
[/mm]
neben $ [mm] a_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] a_m [/mm] = 0 $ auch null sein. Das System ist also linear unabhänig.
Da ich aber - wie ich gestehen muss - nicht wirklich weiß, wohin die Idee mit dem maximalen linear unabhängigen System führen soll, weiß ich auch nicht, wie ich weitermachen muss^^
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 08.10.2014 | | Autor: | andyv |
> Ok, dann hab ich also die neue Basis [mm]B_n[/mm]
>
> [mm]B_n := \{w_1,\ldots,w_m,v\} [/mm].
>
> Da [mm]\{w_1,\ldots,w_m\}[/mm] ja schon eine Basis und somit linear
> unabhängig ist, muss der Koeffizient vor [mm]v[/mm] in der
> Gleichung
>
> [mm]a_1w_1 + \ldots + a_mw_m + bv = 0, a_i, b \in \IR[/mm]
>
> neben [mm]a_1 = \ldots = a_m = 0[/mm] auch null sein. Das System ist
> also linear unabhänig.
Das ist mir zu grob. Gilt das auch für $v [mm] \in [/mm] W$?
>
> Da ich aber - wie ich gestehen muss - nicht wirklich weiß,
> wohin die Idee mit dem maximalen linear unabhängigen
> System führen soll, weiß ich auch nicht, wie ich
> weitermachen muss^^
Betrachte dann 2 Fälle.
1. [mm] $span(B_n)=V$
[/mm]
2. [mm] $span(B_n)\subset [/mm] V$
Liebe Grüße
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> > Ok, dann hab ich also die neue Basis [mm]B_n[/mm]
> >
> > [mm]B_n := \{w_1,\ldots,w_m,v\} [/mm].
> >
> > Da [mm]\{w_1,\ldots,w_m\}[/mm] ja schon eine Basis und somit linear
> > unabhängig ist, muss der Koeffizient vor [mm]v[/mm] in der
> > Gleichung
> >
> > [mm]a_1w_1 + \ldots + a_mw_m + bv = 0, a_i, b \in \IR[/mm]
> >
> > neben [mm]a_1 = \ldots = a_m = 0[/mm] auch null sein. Das System ist
> > also linear unabhänig.
>
> Das ist mir zu grob. Gilt das auch für [mm]v \in W[/mm]?
Was meinst du hiermit genau? Was ist zu grob und was soll für $v [mm] \in [/mm] W$ genau gelten? Ist die Erklärung zu wenig detailliert?
> >
> > Da ich aber - wie ich gestehen muss - nicht wirklich weiß,
> > wohin die Idee mit dem maximalen linear unabhängigen
> > System führen soll, weiß ich auch nicht, wie ich
> > weitermachen muss^^
>
> Betrachte dann 2 Fälle.
> 1. [mm]span(B_n)=V[/mm]
> 2. [mm]span(B_n)\subset V[/mm]
>
Und dann? o.O Sorry, dass ich immer so dumm nachfragen muss, nur für mich ist das keineswegs selbstverständlich :/
> Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Do 09.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Wegen [mm]dim(V)>dim(W)[/mm] gibt es einen Vektor [mm]v\in V\setminus W[/mm], der sich als Linearkombination der [mm]v_i[/mm] darstellen lässt, aber nicht als LK der [mm]w_i[/mm].
Du musst zeigen, dass dies auch auf mindestens ein [mm]v_i[/mm] schon zutrifft, da du die Basis von [mm]W[/mm] durch Elemente von [mm]B[/mm] erweitern sollst.
[mm]v[/mm] hat mit Sicherheit eine Darstellung als LK der [mm]v_i[/mm], also
[mm]v=\sum_{k=1}^{n} a_k v_k[/mm]
Angenommen, jedes [mm]v_i[/mm] wäre als LK der [mm]w_i[/mm] darstellbar, so lässt sich leicht eine LK von [mm]v[/mm] aus den [mm]w_i[/mm] herleiten. Das ist wegen der Wahl von [mm]v[/mm] ein Widerspruch.
Das heißt für ein [mm]i\in \{1,..,n\}[/mm]
ist [mm]B'=\{w_1,...,w_n,v_i\}[/mm] linear unabhängig.
Falls $span(B')=span(B)$ sind wir fertig. Ansonsten wenden wir das gleiche Argument noch einmal an. Das führt im Prinzip zu einer Induktion.
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> Wegen [mm]dim(V)>dim(W)[/mm] gibt es einen Vektor [mm]v\in V\setminus W[/mm],
> der sich als Linearkombination der [mm]v_i[/mm] darstellen lässt,
> aber nicht als LK der [mm]w_i[/mm].
>
> Du musst zeigen, dass dies auch auf mindestens ein [mm]v_i[/mm]
> schon zutrifft, da du die Basis von [mm]W[/mm] durch Elemente von [mm]B[/mm]
> erweitern sollst.
>
> [mm]v[/mm] hat mit Sicherheit eine Darstellung als LK der [mm]v_i[/mm], also
> [mm]v=\sum_{k=1}^{n} a_k v_k[/mm]
>
> Angenommen, jedes [mm]v_i[/mm] wäre als LK der [mm]w_i[/mm] darstellbar, so
> lässt sich leicht eine LK von [mm]v[/mm] aus den [mm]w_i[/mm] herleiten. Das
> ist wegen der Wahl von [mm]v[/mm] ein Widerspruch.
>
> Das heißt für ein [mm]i\in \{1,..,n\}[/mm]
> ist
> [mm]B'=\{w_1,...,w_n,v_i\}[/mm] linear unabhängig.
>
> Falls [mm]span(B')=span(B)[/mm] sind wir fertig. Ansonsten wenden
> wir das gleiche Argument noch einmal an. Das führt im
> Prinzip zu einer Induktion.
Sorry, ich verstehe es einfach nicht mehr. Es klingt alles so selbstverständlich, aber für mich ist es das absolut nicht. Ich weiß einfach nicht, was ich noch machen soll oder muss bzw. warum ich es nicht verstehe. Es ist so frustrierend...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Fr 10.10.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir haben
[mm] $B=\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] Basis von V, also $span(B)=V,$
[mm] $B_W=\{w_1,...,w_m\}$ [/mm] Basis von W, also [mm] span(B_W)=W [/mm] und m<n.
Annahme: $B [mm] \subseteq span(B_W)$. [/mm] Dann:
[mm] $V=span(B)=span(B_W)=W$, [/mm] also V=W.
Widerspruch !
Also ex. mindestens ein [mm] v_i \in [/mm] B mit [mm] v_i \notin span(B_W).
[/mm]
Setze [mm] W_1:=span(B_W \cup \{v_i\}). [/mm]
[mm] B_W \cup \{v_i\} [/mm] ist eine Basis von [mm] W_1.
[/mm]
Fall 1: [mm] W_1=V. [/mm] Dann sind wir fertig !
Fall 2: [mm] W_1 [/mm] ist ein echter Teilraum von V.
Wie oben sieht man: es gibt ein [mm] v_j \in [/mm] B mit [mm] v_j \notin span(B_{W_1}) [/mm] (insbesondere ist dann i [mm] \ne [/mm] j).
Setze [mm] W_2:=span(B_{W_1} \cup \{v_j\})
[/mm]
Fall 1: [mm] W_2=V. [/mm] Fertig.
Fall 2: jetzt Du ....
FRED
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok, ich habe es noch einmal in aller Ruhe probiert...
Wenn ich die Basis $B_W = <w_1,\ldots,w_m>$ von $W$ erweitern will mit Elementen aus der Basis $B=<v_1,\ldots,v_n>$ von V. Wenn ich aus dem von Dir schon geschilderten Widerspruch ableite, dass es mindestens ein Element $v_i \in B$ gibt, dass nicht im Span von $B_W$ liegt. Um die Basis zu erweitern, brauche ich außerdem $n-m$ Elemente, weil $dim(W) = m < dim(V) = n$.
Wenn ich jetzt einen Vektor $v_{i_1}$ habe, dann gilt eine der folgenden Aussagen:
$ v_{i_1} \in <w_1,\ldots,w_m> = <w_1,\ldots,w_m,v_{i_1}>$ oder
$ v_{i_1} \not\in <w_1,\ldots,w_m> \subset <w_1,\ldots,w_m,v_{i_1}>$,
Weil $dim(<w_1,\ldots,w_m>)$ kleiner ist als $dim(<w_1,\ldots,w_m,v_{i_1}>)$, müssen wir noch einen Vektor $v_{i_2} \in B$ hinzufügen. Wir haben dann wieder die beiden Fälle:
$ v_{i_2} \in <w_1,\ldots,w_m,v_{i_1}> = <w_1,\ldots,w_m,v_{i_1},v_{i_2}>$ oder
$ v_{i_2} \not\in <w_1,\ldots,w_m,v_{i_1}> \subset <w_1,\ldots,w_m,v_{i_1},v_{i_2}>$.
Weil wir immer noch keine Basis für $V$ haben, machen wir das immer weiter, bis wir bei $v_{i_{n-m}} \in B$ ankommen. Dann sehen wir die zwei Fälle:
$ v_{i_{n-m}} \in <w_1,\ldots,w_m,v_{i_1},\ldots,v_{i_{(n-m)-1}}> = <w_1,\ldots,m_w,v_{i_1},\ldots,v_{i_{(n-m)-1}},v_{i_{(n-m)}> $ oder
$ v_{i_{n-m}} \not\in <w_1,\ldots,w_m,v_{i_1},\ldots,v_{i_{(n-m)-1}}> \subset <w_1,\ldots,m_w,v_{i_1},\ldots,v_{i_{(n-m)-1}},v_{i_{(n-m)}> $
Hier sehen wir jetzt, dass wir eine Menge mit $n$ Elementen haben.
Ich hoffe, das ist einigermaßen deutlich aufgeschrieben...
Liebe Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 So 12.10.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Hey,
ich sehe, dass meine Frage schon sehr oft angeschaut wurde, aber irgendwie antwortet niemand :) Wenn mein Lösungsvorschlag zu unübersichtlich ist o.ä., bitte ich, das zu sagen; dann kann ich versuchen, ihn etwas anzupassen. Ich will beim besten Willen nicht drängeln, aber ich muss an die Deadline des Dozenten halten, weshalb ich hier noch mal kurz nachfragen wollte :)
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 12.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
öhm, so im Nachhinein vielleicht der Hinweis: Das für Dich interessanteste
steht eigentlich bis zu dem kommenden "Also nochmal-Teil" und nach dem
P.S..
Ich hab' das mal blaumarkiert.
> Ok, ich habe es noch einmal in aller Ruhe probiert...
>
> Wenn ich die Basis [mm]B_W = [/mm] von [mm]W[/mm] erweitern
> will mit Elementen aus der Basis [mm]B=[/mm] von V.
> Wenn ich aus dem von Dir schon geschilderten Widerspruch
> ableite, dass es mindestens ein Element [mm]v_i \in B[/mm] gibt,
> dass nicht im Span von [mm]B_W[/mm] liegt. Um die Basis zu
> erweitern, brauche ich außerdem [mm]n-m[/mm] Elemente, weil [mm]dim(W) = m < dim(V) = n[/mm].
>
> Wenn ich jetzt einen Vektor [mm]v_{i_1}[/mm] habe, dann gilt eine
> der folgenden Aussagen:
>
> [mm]v_{i_1} \in = [/mm]
Das ist richtig, aber tatsächlich ist es eher so:
[mm] $v_{i_1} \in <w_1,\ldots,w_m>$ $\iff$ $<w_1,\ldots,w_m>$ $\,=\,$ $<w_1,\ldots,w_m,v_{i_1}>$
[/mm]
> oder
> [mm]v_{i_1} \not\in \subset [/mm],
S.o.: [mm] $v_{i_1} \notin $ $\iff$ $$ $\,\subset\,$ $$ ($\subset$ [/mm] hier im Sinne von [mm] $\subsetneq$)
[/mm]
> Weil [mm]dim()[/mm] kleiner ist als
> [mm]dim()[/mm], müssen wir noch einen
> Vektor [mm]v_{i_2} \in B[/mm] hinzufügen.
Also nochmal:
Im Falle [mm] $v_{i_1} \in [/mm] W$ nimmst Du [mm] $v_{i_1}$ [/mm] gar nicht zu den [mm] $\{w_1,...,w_m\}$ [/mm] auf, sondern Du suchst ein
[mm] $i_1 \in \{1,...,n\}$ [/mm] mit
[mm] $v_{i_1} \notin $,
[/mm]
oder anders gesagt, mit
[mm] $$ $\subset$ $$.
[/mm]
Ein solches muss im Falle $n-m > 0$ existieren, weil...?
Und wenn jetzt [mm] $n-m=1\,$ [/mm] war, bist Du fertig (das muss auch noch erklärt werden,
warum).
Ist aber $n-m > [mm] 1\,,$ [/mm] dann... [Beachte: Bei Dir oben steht einfach nur, dass Du
das Verfahren angeblich immer weitermachen kannst - das ist etwas verwirrend...]).
> Wir haben dann wieder die
> beiden Fälle:
>
>
> [mm]v_{i_2} \in = [/mm]
> oder
> [mm]v_{i_2} \not\in \subset [/mm].
>
> Weil wir immer noch keine Basis für [mm]V[/mm] haben, machen wir
> das immer weiter, bis wir bei [mm]v_{i_{n-m}} \in B[/mm] ankommen.
> Dann sehen wir die zwei Fälle:
>
> [mm]v_{i_{n-m}} \in = [/mm]
> oder
> [mm]v_{i_{n-m}} \not\in \subset [/mm]
>
> Hier sehen wir jetzt, dass wir eine Menge mit [mm]n[/mm] Elementen
> haben.
>
> Ich hoffe, das ist einigermaßen deutlich
> aufgeschrieben...
Ich würde es deutlicher aufschreiben:
Sei [mm] $$ [/mm] eine Basis von [mm] $W\,,$ [/mm] der betrachtete Unterraum von [mm] $V\,.$
[/mm]
1. Wir machen folgende Teilung von [mm] $B=\{v_1,...,v_n\},$ [/mm] der uns zur Verfügung
stehende Basis von [mm] $V\,$ [/mm] (erwähnt sei nochmal: Basen sind i.a. NICHT eindeutig!):
Wir setzen
[mm] $I:=\{1,...,n\}$ [/mm] (die Indizes der Basiselemente von [mm] $V\,$)
[/mm]
und wir definieren zudem
[mm] $I_W:=\{\;j \in I:\;\; v_j \in =W\;\}\,,$
[/mm]
das sind also die Indizes der Basiselemente von [mm] $V\,,$ [/mm] wo die zugehörigen
Basisvektoren schon in [mm] $V\,$ [/mm] liegen.
Falls [mm] $I_W=I\,$ [/mm] ist, so ist nichts zu tun - denn dann sind sowohl
[mm] $B\,$ [/mm] als auch [mm] $\{w_1,...,w_m\}$
[/mm]
eine Basis von [mm] $V\,.$ [/mm] (Grund?)
(Nebenbei: Es ist [mm] $I_W =\varnothing$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $W=\{0_V\}$ [/mm] der Nullraum
ist.)
Wir setzen
$J:=I [mm] \setminus I_W\,,$
[/mm]
und da wir den Fall [mm] $I=I_W$ [/mm] schon untersucht haben, können wir im Weiteren
o.E. [mm] $I_W \subset [/mm] I$ (echte Teilmenge!) annehmen (beachte, dass per Definitionem
von [mm] $I_W$ [/mm] sofort [mm] $I_W \subseteq [/mm] I$ gilt).
Dann ist
[mm] $\{w_1,...,w_m\}\;\cup\;\{v_j:\;\; j \in \underbrace{J}_{=\{1,...,n\}\setminus I_W}\}$
[/mm]
eine Basis von [mm] $V\,.$ [/mm] (Was noch zu beweisen wäre - insbesondere wäre
auch sowas wie [mm] $|I_W|=m\,$ [/mm] dabei eine interessante, zu beweisende,
Aussage.)
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Das Ganze jetzt aber mal etwas algorithmischer, so, dass es zu dem von
Dir Gesagten besser passt:
Sei [mm] $V\,$ [/mm] mit Basis [mm] $B\,$ $n\,$-dimensional [/mm] und [mm] $\{w_1,...,w_m\}$ [/mm] eine Basis
von [mm] $W\,.$ [/mm] Falls [mm] $\{w_1,...,w_m\}$ [/mm] schon eine Basis von [mm] $V\,$ [/mm] ist, so sind wir fertig.
Andernfalls gibt es einen Index [mm] $k_1$ [/mm] so, dass
[mm] $v_{k_1} \notin =W\,.$
[/mm]
Durch Umindizierung der Elemente aus [mm] $B\,$ [/mm] (d.h. Anwendung einer geeigneten
Bijektion $j [mm] \colon \{1,...,n\} \to \{1,...,n\}$ [/mm] - also [mm] $j\,$ [/mm] ist eine Permutation auf [mm] $\{1,...,n\}$) [/mm]
können wir
[mm] $B=\{v_1,...,v_n\}$
[/mm]
so als
[mm] $B=\{v_{j(1)},...,v_{j(n)}\}\equiv:\{v'_1,...,v'_n\}$
[/mm]
schreiben, dass wir sagen können:
[mm] $i_1$ [/mm] sei der erste (kleinste) Index derart, dass
[mm] $v'_{1},...,v'_{i_1}$ [/mm] alle in [mm] $W_1:=W=$
[/mm]
liegen und alle [mm] $v'_{i_1+1},...,v'_n$ [/mm] sind alle [mm] $\notin W\,.$
[/mm]
Ist [mm] $i_1=n,$ [/mm] so ist...?
Sei also o.E. [mm] $i_1 [/mm] < [mm] n\,.$ [/mm] Betrachte dann
[mm] $\{w_1,...,w_m,v'_{i_1}\}\,,$
[/mm]
dann ist
[mm] $W_1=$ $\subset$ $$ [/mm] (echte Teilmenge!).
Jetzt überlege Dir, dass für
[mm] $W_2:=$
[/mm]
gilt:
Ist [mm] $W_2=V\,,$ [/mm] so sind wir fertig. Im Falle [mm] $W_2 \subset [/mm] V$ gilt: Der erste Index [mm] $i_2$ [/mm]
so, dass:
[mm] $v'_{1},...,v'_{i_2}$ [/mm] liegen alle in [mm] $W_2:=$ [/mm] und alle [mm] $v'_{i_2+1},...,v'_n$ [/mm] sind [mm] $\notin W_2$
[/mm]
ist gegeben durch [mm] $i_2=i_1+1\,.$
[/mm]
Im nächsten Schritt ersetzt man also
[mm] $W_1$ [/mm] durch [mm] $W_2\,,$
[/mm]
die Basis
[mm] $\{w_1,...,w_m\}$ [/mm] wird durch Hinzunahme von [mm] $v'_{i_1+1}\,,$ [/mm] also
[mm] $\{w_1,...,w_m,v'_{i_1^+1}\}$, [/mm] zu einer Basis von [mm] $W_2$
[/mm]
ergänzt. Danach ersetze [mm] $i_1$ [/mm] durch [mm] $i_2\,,$ [/mm] und falls [mm] $i_2 [/mm] < n$ ist, dann...
Und so weiter, und so fort.
Ein wenig wichtig ist hier, dass man eigentlich tatsächlich sagen können wird:
Das Verfahren bricht genau nach [mm] $n-m\,$ [/mm] Schritten ab. Wäre das nicht so,
so kann man sich überlegen, dass das im Widerspruch dazu steht, dass
die $v'_i$'s eine wie oben genannte Umindizierung der [mm] $v_i$ [/mm] wären.
Noch einfacher wäre die Begründung, wenn ihr den Satz habt, dass die
Dimension eines endlich-dimensionalen Vektorraums als Anzahl der
Elemente EINER Basis desselben EINDEUTIG ist.
P.S. Diese Umsortierung der Elemente machst Du oben nicht, und die braucht
man auch nicht wirklich. Wenn Du sie aber wegläßt, dann muss die
Argumentation aber dennoch klar sein:
Ist [mm] $W=V\,,$ [/mm] so haben wir nichts zu tun.
Wenn [mm] $W\,$ [/mm] ein echter Unterraum von [mm] $V\,$ [/mm] ist, dann gibt es sicher ein
Basiselement aus [mm] $B\,,$ [/mm] dass nicht in [mm] $W\,$ [/mm] liegt. Zu einer Basis von [mm] $W\,$ [/mm] wird
ein solches aufgenommen.
Du sagst jetzt, dass, weil [mm] $W_1:=W\,$ [/mm] echter Unterraum von [mm] $V\,$ [/mm] ist, wir einen Index
[mm] $i_1 \in \{1,...,n\}$ [/mm] so finden, dass
[mm] $v_{i_1} \notin W\,.$
[/mm]
Betrachte nun
[mm] $W_2:=\,.$
[/mm]
Jetzt gibt es zwei Fälle: Entweder ist [mm] $W_2=V\,,$ [/mm] oder es ist [mm] $W_2 \subset V\,.$
[/mm]
Nur im zweiten Fall ist noch etwas zu tun:
Es gibt nun ein
[mm] $i_2 \in \{1,...,n\} \setminus \{i_1\}$
[/mm]
mit
[mm] $v_{i_2} \notin W_1\,.$
[/mm]
Etc. pp.
Wichtig ist hierbei: Man sieht sofort, dass dieser Algorithmus nach spätestens
[mm] $n\,$ [/mm] Schritten terminieren wird (denn die Menge [mm] $\{1,...,n\}$ [/mm] hat genau [mm] $n\,$
[/mm]
Elemente und nach jedem Schritt wird sie um genau eines verkleinert).
Und das eigentliche Manko bei Dir ist, dass Du schreibst: "Weil [mm] $\dim(
"Weil [mm] $\dim() [/mm] < n$ ...",
dass Du *deswegen* etwas tust. Das ist eigentlich kein "Weil", sondern ein
"Wenn":
Du prüfst, ob obige Dimension schon [mm] $n\,$ [/mm] ist, und nur, wenn sie es noch
nicht ist, dann machst Du etwas. Übrigens ist
[mm] $\dim(
sofort als [mm] $m+k\,$ [/mm] erkennbar. (Unter Beachtung der "Terminierungsbedingung"
des Algorithmusses, was m.a.W. nichts anderes heißt, als dass hier in
notwendiger Weise $m+k [mm] \le [/mm] n$ bzw. $k [mm] \le [/mm] n-m$ sein muss!)
Du solltest übrigens auch noch (im Falle [mm] $ \subset [/mm] V$ durchaus (schnell)
mal begründen, warum [mm] $\{w_1,...,w_m,v_{i_1}\}$ [/mm] eine linear unabhängige
Menge ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mo 13.10.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Ok, danke für die super Erklärung :) Ich denke, ich habe es jetzt größtenteils verstanden. Vielen Dank, dass du dir immer wieder die Zeit nimmst :P
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