Basis und Dimension bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mo 06.01.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] R^4 [/mm] → [mm] R^3 [/mm] mit f(x,y,s,t):=(x-y+s+t,x+2s-t,x+y+3s-3t).
(i) Bestimme Basis und Dimension von im(f)
(ii) Bestimme Basis und Dimension von ker(f) |
Hallo!
Ich weiß zwar nicht, ob ich richtig vorgegangen bin, aber ich habe erstmal die vektoren als matrix hingeschrieben und diese in reduzierte zeilenstufenform gebracht.
Die red. zsf sieht folgend aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
der Rang sowie der Defekt der Matrix betragen 2
Also wäre rg(f) = dim(im(f)) = 2 und def(f) = dim(ker(f)) = 2 (laut definition)
Wie komme ich jetzt aber auf die Beiden Basen?
Ich weiß, dass x und y gebundene variablen und s und t freie variablen sind.
Aber wie baue ich mir nun jeweils die Basen?
lg
|
|
| |
|
Hallo dodo1924,
> Sei f: [mm]R^4[/mm] → [mm]R^3[/mm] mit
> f(x,y,s,t):=(x-y+s+t,x+2s-t,x+y+3s-3t).
> (i) Bestimme Basis und Dimension von im(f)
> (ii) Bestimme Basis und Dimension von ker(f)
> Hallo!
>
> Ich weiß zwar nicht, ob ich richtig vorgegangen bin, aber
> ich habe erstmal die vektoren als matrix hingeschrieben und
> diese in reduzierte zeilenstufenform gebracht.
> Die red. zsf sieht folgend aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> der Rang sowie der Defekt der Matrix betragen 2
> Also wäre rg(f) = dim(im(f)) = 2 und def(f) = dim(ker(f))
> = 2 (laut definition)
>
> Wie komme ich jetzt aber auf die Beiden Basen?
> Ich weiß, dass x und y gebundene variablen und s und t
> freie variablen sind.
> Aber wie baue ich mir nun jeweils die Basen?
>
Eine Basis von Bild(f) findest Du, in dem Du die
Einheitsvektoren des [mm]\IR^{4} [/mm] durch die Abbildungsvorschrift abbildest.
Daraus baust Du Dir dann eine Basis zusammen.
Für eine Basis von Kern(f) mußt Du den Kern der Abildung bestimmen.
> lg
Gruss
MathePower
|
|
|
|
