Basis und Dimension < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hoi mitnand,
ich hätte folgende Aufgabe zu lösen (ich schreibe der einfachheit halber die Spalten- in Zeilenvektoren):
U := {(x1 x2 x3) [mm] \in \IR^3 [/mm] | x1 - 2x2 + x3 = 0}
Bestimmen Sie eine Basis von U und die Dimenison von U! Begründen Sie Ihre Angaben!
Ich habe nun folgendes gemacht:
Damit ich eine Basis für [mm] \IR^3 [/mm] definieren kann, brauche ich drei lineare unabhängige Vektoren!
Bsp: v1 = (1 1 1)
v2 = (2 1 0)
v3 = (5 2 1)
Da diese drei Vektoren linear unabhängig sind, bilden sie ein Erzeugendensystem und in nächster Folge eine Basis!
Es handelt sich hierbei um die dritte Dimension!
Habe ich diese Aufgabe so richtig gelöst oder wie würdet ihr bei diesem Beispiel vorgehen?
Danke und
mfg Robert
|
|
| |
|
Halli hallo!
> ich hätte folgende Aufgabe zu lösen (ich schreibe der
> einfachheit halber die Spalten- in Zeilenvektoren):
>
> U := [mm] \{(x1 x2 x3)\in\IR^3|x1-2x2+x3=0 \}
[/mm]
> Bestimmen Sie eine Basis von U und die Dimenison von U!
> Begründen Sie Ihre Angaben!
>
> Ich habe nun folgendes gemacht:
> Damit ich eine Basis für [mm]\IR^3[/mm] definieren kann, brauche
> ich drei lineare unabhängige Vektoren!
> Bsp: v1 = (1 1 1)
> v2 = (2 1 0)
> v3 = (5 2 1)
> Da diese drei Vektoren linear unabhängig sind, bilden sie
> ein Erzeugendensystem und in nächster Folge eine Basis!
>
> Es handelt sich hierbei um die dritte Dimension!
>
> Habe ich diese Aufgabe so richtig gelöst oder wie würdet
> ihr bei diesem Beispiel vorgehen?
Also ich glaube du hast dich ein bißchen vertan 
Zunächst einmal kann ich die Wahl deines dritten Vektoren nicht nachvollziehen!
Dieser liegt nicht in U!
Entweder du nimmst (5 3 1) oder aber (5 2 -1) je nachdem!
Nun wirst du feststellen, dass deine drei Vektoren nun nicht mehr linear unabhängig sind - das können sie auch gar nicht, da dim(U)=2.
Das kannst du dir ganz einfach veranschaulichen!
Du kannst den dritten Vektor immer durch eine Linearkombination der beiden anderen darstellen, denn [mm] x_3=-x_1+2x_2.
[/mm]
Daher kannst du nie drei linear unabhängige Vektoren für solch eine Gleichung finden.
Liebe Grüße
Ulrike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Ups tut mir sorry, stimmt wenn U ein Untervektorraum von [mm] \IR^3 [/mm] ist, kann es sich bei U max. um die zweite Dimension handeln.
Und bei meinem dritten Vektor hab ich mich tatsächlich vertan.
Eine kurze Frage hätte ich noch:
Was meinst du mit
"Das kannst du dir ganz einfach veranschaulichen?"
mfg Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Robert!
Nun, was Ulrike vermutlich meinte, ist folgendes:
Es ist ja
[mm] $U=\{(x_1,x_2,x_3 )^T \in \IR^3\, :\, x_1 - 2x_2 + x_3=0\}$.
[/mm]
Enthalten sind alle Vektoren, die auf dem Vektor [mm] $\pmat{ 1 \\ -2 \\ 1}$ [/mm] senkrecht stehen, denn die Gleichung in $U$ bedeutet ja gerade, dass das Skalarprodukt von [mm] $\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}$ [/mm] und [mm] $\pmat{1 \\ -2 \\ 1}$ [/mm] gleich $0$ sein muss.
Mit anderen Worten: $U$ ist eine Ebene, die durch den Ursprung verläuft, mit dem Normalenvektor [mm] $\pmat{1 \\ -2 \\ 1}$, [/mm] also ein zweidimensionaler Unterraum des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
