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| Aufgabe | Sei T das reguläre Tetrahedron mit den Ecken
[mm] v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm], [mm] v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm], [mm] v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm], [mm] v_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
a) Zeigen sie, dass B = [mm] \left\{ v_1, v_2, v_3, v_4 \right\} [/mm] eine Basis von V:= [mm] \IR^3 [/mm] ist.
b) Zeigen Sie, dass es eine eindeutige lineare Abbildung f: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^3 [/mm] gibt, so dass [mm] f (v_1)=v_1, f(v_2)=v_2, f(v_3)= v_4 [/mm].
Berechnen Sie [mm] f(v_4) [/mm]. Schließen Sie, dass f das Tetrahedron in sich selbst überführt.
Tip: zeigen Sie, dass [mm] v_1+v_2+v_3+v_4= 0 [/mm] |
Also ich versuche auch mal mein Glück bei euch, ich habe schon manche interessante Hilfen und Lösungsansätze hier gefunden.
Mein Problem bei der Aufgabe ist eigentlich für euch hier nicht so schwierig, aber ich verzweifle mal wieder an meinen Übungszettel.
a) Wenn ich die Basis bestimmen soll muß ich doch [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] auf Lineare Unabhängigkeit prüfen, also die Matrix: [mm] \begin{Bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{Bmatrix} [/mm]
auf Zeilenstufenform bringen soweit richtig?
Aber wie lese ich dann die Basis ab????
b) da fällt mir gar nix zu ein ich kenne zwar die Definition von der linearen Abbildung, kann sie aber nie auf meine Aufgaben anwenden, kann mir da vielleicht jemand noch irgendwie ein simples Praxis Beispiel nennen, dass auch ich das verstehe und das immer funktioniert? Vielen dank schon mal lucky
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Di 30.05.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Bianca!
> Sei T das reguläre Tetrahedron mit den Ecken
> [mm]v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm], [mm]v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm],
> [mm]v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm], [mm]v_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
>
> a) Zeigen sie, dass B = [mm]\left\{ v_1, v_2, v_3, v_4 \right\}[/mm]
> eine Basis von V:= [mm]\IR^3 [/mm] ist.
Das ist wohl ein Schreibfehler, eine Basis vom [mm] \IR^{3} [/mm] muß aus 3 Elementen bestehen!
> b) Zeigen Sie, dass es eine eindeutige lineare Abbildung
> f: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^3 [/mm] gibt, so dass [mm]f (v_1)=v_1, f(v_2)=v_2, f(v_3)= v_4 [/mm].
>
> Berechnen Sie [mm]f(v_4) [/mm]. Schließen Sie, dass f das
> Tetrahedron in sich selbst überführt.
> Tip: zeigen Sie, dass [mm]v_1+v_2+v_3+v_4= 0[/mm]
> Also ich
> versuche auch mal mein Glück bei euch,
Ein guter Gedanke!
> ich habe schon
> manche interessante Hilfen und Lösungsansätze hier
> gefunden.
> Mein Problem bei der Aufgabe ist eigentlich für euch hier
> nicht so schwierig, aber ich verzweifle mal wieder an
> meinen Übungszettel.
>
> a) Wenn ich die Basis bestimmen soll muß ich doch [mm]v_1, v_2, v_3[/mm]
> auf Lineare Unabhängigkeit prüfen, also die Matrix:
> [mm]\begin{Bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{Bmatrix}[/mm]
>
> auf Zeilenstufenform bringen soweit richtig?
Das kann man so machen.
> Aber wie lese ich dann die Basis ab????
Was willst du denn noch ablesen, die 3 Vektoren sind so wie sie dastehen eine Basis.
> b) da fällt mir gar nix zu ein ich kenne zwar die
> Definition von der linearen Abbildung, kann sie aber nie
> auf meine Aufgaben anwenden
Wenn du die Bilder irgendeiner Basis kennst, kennst du die gesamte Abbildung, weil du jeden anderen Vektor als Linearkombination der Basisvektoren ausdrücken kannst. Also mußt du [mm] v_{4} [/mm] durch die 3 Basisvektoren ausdrücken (dazu mußt du eine lin. Gl. lösen) und dann [mm] f(v_{4}) [/mm] berechnen. Das kriste hin!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> > a) Zeigen sie, dass B = [mm]\left\{ v_1, v_2, v_3, v_4 \right\}[/mm]
> > eine Basis von V:= [mm]\IR^3[/mm] ist.
>
> Das ist wohl ein Schreibfehler, eine Basis vom [mm]\IR^{3}[/mm] muß
> aus 3 Elementen bestehen!
Ja natürlich, da habe ich mir das so oft durchgelesen, danke.
> > a) Wenn ich die Basis bestimmen soll muß ich doch [mm]v_1, v_2, v_3[/mm]
> > auf Lineare Unabhängigkeit prüfen, also die Matrix:
> > [mm]\begin{Bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{Bmatrix}[/mm]
>
> >
> > auf Zeilenstufenform bringen soweit richtig?
>
> Das kann man so machen.
>
> > Aber wie lese ich dann die Basis ab????
>
> Was willst du denn noch ablesen, die 3 Vektoren sind so wie
> sie dastehen eine Basis.
Ok, das sehe ich auch fast, aber bei so Vektoren, wo das nicht so offentsichtlich ist, bekomme ich Probleme, und gebe dann immer die falschen an. Kann ich die Matrix auch so richtig in so eine Dreicksform bringen, und dann die Vektoren, die ich raus bekommen habe einfach aufschreiben, oder wie mach ich das?
bzw. Wie genau zeige ich dann das die Vektoren eine Basis sind, da brauch ich doch bestimmt einen Beweis, oder reicht da "trivial"?
> > b) da fällt mir gar nix zu ein ich kenne zwar die
> > Definition von der linearen Abbildung, kann sie aber nie
> > auf meine Aufgaben anwenden
>
> Wenn du die Bilder irgendeiner Basis kennst,
ganz blöde frage, woher kenn ich denn die Bilder?
> kennst du die gesamte Abbildung, weil du jeden anderen Vektor als
> Linearkombination der Basisvektoren ausdrücken kannst. Also
> mußt du [mm]v_{4}[/mm] durch die 3 Basisvektoren ausdrücken (dazu
> mußt du eine lin. Gl. lösen) und dann [mm]f(v_{4})[/mm] berechnen.
> Das kriste hin!
Danke für dein Vertrauen, aber ich stehe gerade total neben mir, muß ich echt sonst nix weiter machen, wenn du mir einfach sagst was ich machen soll klingt das relativ simpel.
Wozu denn dann die komplizierte Ausdrucksweise in der Aufgabenstellung.
was genau heißt den der Ausdruck [mm] f(v_1) = v_1 , f(v_2) =v_2 , f(v_3) = v_4 [/mm]
Vielen Dank nochmal für die schnelle Hilfe!!
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| Aufgabe | c) Berechnen sie Matrix von f bezüglich der Basis B
d) Berechen sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren von f und zeigen sie das f diagonalisierbar ist |
Ja die Aufgabe hat noch zwei Teile, aber da ich schon mal einen kleinen Schritt weiter bin kann mir vielleicht noch jemand bei dem Rest helfen.
zu c) da muß ich doch ich glaub nen Basiswechsel mit der Kanonischen Basis machen, und die dann alle mit einander multiplizeiren, aber laut meiner Vorlesung gehlt mir dazu doch die Basis A oder?
zu d) ok Eigenwerte bekomme ich vielleicht noch mit Charakteristischen Polymon und dann find ich wieder keine Eigenvektoren. Wie man das macht ist mir scheinbar auch verborgen geblieben.
Und diagonalisierbar heißt eine Matrix wenn es eine Diagonalmatrix gibt, die ähnlich zu der Ausgangsmatrix ist, oder?
Vielleicht hilft mir noch mal jemand auf die Sprünge mit einer kleinen Erklärung für doofe, so komme ich mir gerade vor!!
Danke
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Hallo luckygirl,
also zu a.) Um zu beweisen, dass die Vektoren einen Basis sind, empfiehlt sich bei nxn Matirzen (aber nur da) zu zeigen, dass die determinante ungleich null ist (d.h. dann, dass man Lösungen a,b,c findet, die ungleich null sind). Das ist oftmals einfacher als das Ding auf zeilenstufenform zu bringen.
zu b.) hier brauchst du einen Abbildungsvoschrift (Also eine Funktion) die dir deinen angegebenen Werte liefert, dass dürfte an sich nicht so schwer sein. Falls du Hilfe brauchst, dann machen wir das zusammen.
zu c.) in deine Abbildungsvorschrift setzt du einfach die Standardbasis ein, schaust was rauskommst und versuchst diesen Vektor alas Produkt der Basisvektoren zu berechnen.
Beispiel:
sei f [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] (als die identische Abbildung), dann ergibt sich
f [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = 1* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] 0*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] 0*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
die drei Koeefizienten, die man benötigt um das Bild des Vektors darzustellen, bilden jetzt die erste Spalte der darstellenden Matrix. Wenn du das jetzt noch für die anderen beiden Vektoren machst, dann ergibt sich Identitätsmatirx.
Beispiel zu Ende. (Ich hoffe das ist jetzt klar) --> du brauchst also b um c (und damit d zu lösen)
zu 4.) mach es genauso wie du es gesagt hast (also Eiegnwerte und Eiegnvektoren), beachte aber das für den Nachweis der Diagonalisierbarkeit noch ein weiteres Kriterium erfüllt sein muss. Wenn du das nicht weiß, dann schau mal in einem Mathebuch unter dem Begriff "allgemeines Diagonalisierbarkeitskriterium" nach, das hilft dir mehr als wenn ich dir es jetzt schon verrate [es hat was mit dem charakteristischen Polynom zu tun]
Grüße S.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 08.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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