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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Basis im R^5
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Basis im R^5: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Fr 17.11.2006
Autor: Manabago

Kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen?
>
> Ermittle eine Basis des Teilraumes des [mm]R^5,[/mm] der aus allen
> Vektoren [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})[/mm] besteht, die
> folgendes Gleichungssystem erfüllen:
>  
> [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm]   + [mm]\bruch{4}{3} x_{3}[/mm] -   [mm]x_{4}[/mm]              = 0
>  [mm]x_{1}[/mm]       + [mm]\bruch{2}{3} x_{3}[/mm]          - [mm]x_{5}[/mm]    = 0
> [mm]9x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] +    [mm]6x_{3}[/mm] - [mm]3x_{4}[/mm] -  [mm]3x_{5}[/mm]  = 0
>  
> Hab keine Idee, wie ich das angehen könnte. Bitte helft mir  ;)!!

        
Bezug
Basis im R^5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Fr 17.11.2006
Autor: Event_Horizon

Nun, das ist ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 5 unbekannten.

Du mußt versuchen, dieses GLS zu lösen. Natürlich wird die Lösung von zwei Parametern abhängen, denn es sind ja zwei Gleichungen "zu wenig".

Beispielsweise kannst versuchen, [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_4, x_5 [/mm] auszudrücken. Ersetze dann [mm] x_4 [/mm] durch r und [mm] x_5 [/mm] durch s, und schreibe das ganze so:

[mm] $\vektor{x_1\\ x_2\\ x_3\\x_4\\ x_5}=r*\vektor{...\\ ...\\...\\1\\0}+s*\vektor{...\\ ...\\ ...\\0\\ 1}$ [/mm]

Das sind schon deine Basisvektoren, und der Unterraum ist eine Ebene!

Bezug
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