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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IQ^5 \to \IQ^5 [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax.
Dabei sei A
[mm] \pmat{0 & 0 &-2&0&0\\{0&0&1&0&0}\\{1&1&2&0&0}\\{-1&-1&-2&-1&-2}\\{1&1&2&1&2}}
[/mm]
Bestimmen sie die Basis eines f-invarianten Komplements von [mm] ker(f^2). [/mm] |
Hallo,
ich hab in einer Voraufgabe schon gezeigt, das [mm] ker(f)=ker(f^2) [/mm] ist.
Außerdem ist ker(f) = [mm] span(\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\\0}, \vektor{0 \\ 0 \\0 \\2\\-1}).
[/mm]
Jetzt muss ja gelten: ker(f) [mm] \cap [/mm] Komp = {0}
und ker(f) + komp = [mm] \IQ^5
[/mm]
Jetzt finde ich natürlich ziemlich leicht 3 Vektoren, die ich zu ker(f) ergänzen muss, um [mm] \IQ^5 [/mm] zu erhalten. Allerdings sind diese nicht f-invariant.
Es muss ja gelten f(v) [mm] \in [/mm] Kompl für jedes v [mm] \in [/mm] Kompl.
Sei nun v [mm] \in [/mm] Kompl von der Form [mm] \vektor{a \\ b\\ c\\d\\e}
[/mm]
A*v = [mm] \vektor{-2c \\ c \\ a+b+2c \\ -a-b-2c-d-2e \\a+b+2c+d+2e}
[/mm]
Daraus kann ich nur sehen, dass das ganze eine Einfachere Form bekommt, wenn b = -a und e = -d/2 ist.
Aber das hilft mir irgendwie auch nicht weiter.
Wie bekomme ich hier 3 lin. unabhängige Vektoren, die f invariant sind?
Schöne Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 So 04.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Wenn $ [mm] ker(f)=ker(f^2) [/mm] $, so auch $ [mm] bild(f)=bild(f^2) [/mm] $ und
$ [mm] \IQ^5=ker(f) \oplus [/mm] bild(f)$
bild(f) ist also ein f -invariantes Komplement von ker(f)
FRED
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