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Hallo
Wie kann ich folgende Aufgabe lösen:
Gegeben seien die zei linearen Abbildungen
[mm] \alpha(x) [/mm] = [mm] 3x_1+6x_3-10x_4+x_5
[/mm]
[mm] \beta(x) [/mm] = [mm] 3x_2-3x_3-2x_4+2x_5
[/mm]
von [mm] \IR^5 [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Sei V der Unterraum [mm] V={x\in\IR^5|\alpha(x)=\beta(x)=0}
[/mm]
Ergänze [mm] v_1=(1,1,1,1,1) [/mm] und [mm] v_2=(0,-1,1,1,4) [/mm] zu einer Basis von V.
Wie komme ich nun auf die Dimension n von V, damit ich dann n Vektoren suchen kann, die l.u. von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind???
Liebe Grüsse
Babybel
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> Hallo
Hi
ich wollte es grad komplett lösen. Aber wo bleibt da der Spaß?
Gegenfragen:
- Wie bestimmst du $ [mm] U_1:=\{x\in\IR^5|\alpha(x)=0\} [/mm] $
und $ [mm] U_2:=\{x\in\IR^5|\beta(x)=0\} [/mm] $
- Was ist das überhaupt?
- Wie lautet die Basis?
- Was ist dann V?
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> Wie kann ich folgende Aufgabe lösen:
> Gegeben seien die zei linearen Abbildungen
> [mm]\alpha(x)[/mm] = [mm]3x_1+6x_3-10x_4+x_5[/mm]
> [mm]\beta(x)[/mm] = [mm]3x_2-3x_3-2x_4+2x_5[/mm]
> von [mm]\IR^5[/mm] nach [mm]\IR.[/mm] Sei V der Unterraum
> [mm]V={x\in\IR^5|\alpha(x)=\beta(x)=0}[/mm]
> Ergänze [mm]v_1=(1,1,1,1,1)[/mm] und [mm]v_2=(0,-1,1,1,4)[/mm] zu einer
> Basis von V.
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> Wie komme ich nun auf die Dimension n von V, damit ich dann
> n Vektoren suchen kann, die l.u. von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind???
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> Liebe Grüsse
> Babybel
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Hallo
> - Wie bestimmst du [mm]U_1:=\{x\in\IR^5|\alpha(x)=0\}[/mm]
> und [mm]U_2:=\{x\in\IR^5|\beta(x)=0\}[/mm]
> - Was ist das überhaupt?
Also das wären ja die Unterräume von U. Aber ich habe wirklich keine Ahnung wie ich da auf die Dimension kommen könnte!!!
liebe Grüsse
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> Wie bestimmst du $ [mm] U_1:=\{x\in\IR^5|\alpha(x)=0\} [/mm] $ und $ [mm] U_2:=\{x\in\IR^5|\beta(x)=0\} [/mm] $
zwei Variable sind frei der rest fest
> Was ist das überhaupt?
Der Kern
> Wie lautet die Basis?
(*)
> Was ist dann V?
[mm] $U_1 \cap U_2$
[/mm]
(*) Wie bestimmt man den Kern der linearen Abbildung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Fr 23.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
Ich poste mal die Lösung:
[mm] $\ker(U_1)=\IR \vektor{-2 \\ 0\\1\\0\\0}+\IR \vektor{10\\0\\0\\3\\0}+\IR \vektor{1\\0\\0\\0\\-3}+\IR \vektor{0\\1\\0\\0\\0}$
[/mm]
[mm] $\ker(U_2)=\IR \vektor{1\\0\\0\\0\\0}+\IR \vektor{0\\3\\1\\0\\0}+\IR \vektor{0\\2\\0\\1\\0}+\IR \vektor{0\\-2\\0\\0\\1}$
[/mm]
Schnitt berechnet man z.B. mit Zassenhausalgorithmus:
[mm]
\left( \begin {array}{ccccc|ccccc} -2&0&1&0&0&-2&0&1&0&0
\\ 10&0&0&3&0&10&0&0&3&0\\ 1&0&0&0
&-3&1&0&0&0&-3\\ 0&1&0&0&0&0&1&0&0&0
\\ \hline 1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&3&1&0&0
&0&0&0&0&0\\ 0&2&0&1&0&0&0&0&0&0
\\ 0&-2&0&0&1&0&0&0&0&0\end {array} \right)
[/mm]
[mm]\to
\left( \begin {array}{ccccc|ccccc}
1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0&1/18&5/9\\
0&0&1&0&0&0&0&0&-1/6&-5/3\\
0&0&0&1&0&0&0&0&-1/9&-{\frac {10}{9}}\\
0&0&0&0&1&0&0&0&1/9&{\frac {10}{9}}\\ \hline
0&0&0&0&0&1&0&0&1/3&1/3\\
0&0&0&0&0&0&1&0&-1/18&-5/9\\
0&0&0&0&0&0&0&1&5/6&7/3
\end {array} \right)
[/mm]
Damit
[mm] $\ker(U_1)\cap \ker(U_2)=\IR \vektor{3\\0\\0\\1\\1}+\IR \vektor{0\\18\\0\\-1\\-10}+\IR \vektor{0\\0\\6\\5\\14}$
[/mm]
Also fehlt noch 1 Vektor [mm] ($v_3$) [/mm] zu $ [mm] v_1=(1,1,1,1,1) [/mm] $ und [mm] $v_2=(0,-1,1,1,4) [/mm] $ für eine Basis.
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