Basis eines n-dimensionalen VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei H [mm] \subset Mat(n,\IC) [/mm] die Teilmenge der hermiteschen Matrizen.
(i) Verifizieren Sie, daß H [mm] \subset Mat(n,\IC) [/mm] eine Untervektorraum bezüglich der
R-Vektorraumstruktur auf [mm] Mat(n,\IC) [/mm] ist.
(ii) Geben Sie eine [mm] \IR-Basis [/mm] von H an und bestimmen Sie [mm] dim_\IR(H). [/mm] |
Meine Frage bezieht sich auf Teil (ii). Wie die Basis aussehen muss, ist mir soweit klar: Für den reellen Teil jeweils einen Basisvektor für die Elemente auf der Hauptdiagonalen und jeweils einen Basisvektor für die symmetrischen Paare ausserhalb der Hauptdiagonalen. Für den komplexen Teil nur jeweils einen Basisvektor für die symmetrischen Paare.
Für n=2 konkret also:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & i \\ \bar i & 0 }
[/mm]
Meine Frage: Wie schreibe ich das sauber für beliebige n auf? Mit Pünktchen oder gibt's da eine bessere Variante?
Was sagt mir das [mm] \IR [/mm] bei [mm] dim_\IR(H)?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei H [mm]\subset Mat(n,\IC)[/mm] die Teilmenge der hermiteschen
> Matrizen.
> (i) Verifizieren Sie, daß H [mm]\subset Mat(n,\IC)[/mm] eine
> Untervektorraum bezüglich der
> R-Vektorraumstruktur auf [mm]Mat(n,\IC)[/mm] ist.
> (ii) Geben Sie eine [mm]\IR-Basis[/mm] von H an und bestimmen Sie
> [mm]dim_\IR(H).[/mm]
> Meine Frage bezieht sich auf Teil (ii). Wie die Basis
> aussehen muss, ist mir soweit klar: Für den reellen Teil
> jeweils einen Basisvektor für die Elemente auf der
> Hauptdiagonalen und jeweils einen Basisvektor für die
> symmetrischen Paare ausserhalb der Hauptdiagonalen. Für den
> komplexen Teil nur jeweils einen Basisvektor für die
> symmetrischen Paare.
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> Für n=2 konkret also:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & i \\ \bar i & 0 }[/mm]
Hallo,
vielleicht so:
Eine [mm] \IR- [/mm] Basis von H ist [mm] (A_i_j [/mm] | i,j=1,...,n) mit
[mm] A_i_i:=(a_k_l) [/mm] mit [mm] a_k_l=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=l=i \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
[mm] A_i_j:=(a_k_l) =\begin{cases} 1, & \mbox{für } k=i,l=j \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } k=j,l=i \mbox{}\\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] für i>j
[mm] A_i_j:=(a_k_l) =\begin{cases} i, & \mbox{für } k=i,l=j \mbox{} \\ -i, & \mbox{für } k=j,l=i \mbox{}\\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] für i<j
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> Meine Frage: Wie schreibe ich das sauber für beliebige n
> auf? Mit Pünktchen oder gibt's da eine bessere Variante?
Allerdings bleiben mir Zweifel, ob die von mir vorgeschlagene Variante wirklich eine gute ist, oder ob sie eher verschleiert als klärt. Ich könnte das mit Pünktchen entschieden besser begreifen...
Auf jeden Fall mußt Du erwähnen, wieviele Elemente in der Basis sind.
> Was sagt mir das [mm]\IR[/mm] bei [mm]dim_\IR(H)?[/mm]
Du betrachtest die komplexen Matrizen hier als Vektorraum über [mm] \IR. [/mm] Die Multiplikation findet also mit reellen Zahlen statt und nicht mit komplexen.
Es ist für [mm] Mat(n,\IC) [/mm] ein großer Unterschied, ob ich die Menge als VR über [mm] \IR [/mm] oder über [mm] \IC [/mm] betrachte, bedenke die Dimensionen.
Und die hermiteschen Matrizen wären über [mm] \IC [/mm] überhaupt kein Vektorraum, da z.B. das i-fache einer hermiteschen Matrix nicht hermitesch ist.
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Mo 02.02.2009 | | Autor: | christianw |
Besten Dank für den Tip. Die Schreibweise mit den Laufvariablen war mir nicht geläufig...macht das ganze wesentlich bequemer, weil's mit Pünktchen auf mindestens 9 Matrizen hinausgelaufen wäre. Ich habe es jetzt ziemlich ähnlich gelöst:
[mm] \beta [/mm] = [mm] (A_i_j [/mm] | i,j=1,...,n)
Sei [mm] A_i_j [/mm] die Matrix mit [mm] \begin{cases} \mbox{(für i=j) einer 1 im Eintrag (i,j), sonst Nullen} \\ \mbox{(für ii) einem i im Eintrag (i,j) und einem } \overline{i} \mbox{ im Eintrag (j,i), sonst Nullen} \end{cases}
[/mm]
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