Basis eines homogenen LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:50 So 12.12.2010 | | Autor: | sqrt25 |
Gegeben sei ein homogenes Gleichungssystem [mm] (a_{ij}), [/mm] i=1,...,m, j=1,...,n in Zeilenstufenform.
Dann sei [mm] J=\left\{j_1,...,j_r\right\}, J^c=\left\{1,...,n\right\}\setminus J=\left\{l_1,...,l_{n-r}\right\}, [/mm] wobei [mm] l_1
[mm] t_i=(t_{i,1},...,t_{i,n})\in K^n [/mm] ist die eindeutig bestimmte Lösung des LGS für i=1,...,n-r mit
[mm] t_{i,l_j}=0, [/mm] wenn [mm] j\ne [/mm] i , [mm] t_{i,l_i}=1
[/mm]
Dann ist [mm] t_1,...,t_{n-r} [/mm] Basis der Lösungsmenge [mm] \IL [/mm] des LGS
So lautet der Satz. Ich verstehe nicht ganz, warum die Basis von [mm] \IL [/mm] gerade aus n-r Elementen bestehen soll. Wie kommt man genau auf diese Anzahl?
Weiterhin wird die Eindeutigkeit des Satzes bewiesen:
[mm] u=(u_1,...,u_n)\in \IL
[/mm]
[mm] a_1,...,a_{n-r} \in \IK, [/mm] j=1,...,n-r
[mm] \sum_{i=1}^{n-r} a_i t_i [/mm] = u ,dann gilt für den Eintrag bei [mm] l_j [/mm] : [mm] a_j [/mm] * 1 [mm] =u_{l_j} [/mm]
Warum beweise ich gerade so die Eindeutigkeit der Basis?
Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 14.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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