Basis eines Vektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 So 04.02.2007 | | Autor: | kaine |
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Betrachte folgende Unterräume von [mm] $K^n$:
[/mm]
$U := [mm] \{(a_{1}, ... ,a_{n}) \in K^n mit \sum_{i=1}^n a_{i} = 0\}$
[/mm]
$D := [mm] \{(a, ... ,a) \in K^n mit a \in K\}$
[/mm]
Bestimmen Sie Basis und Dimension von $U, D, U [mm] \cap [/mm] D, U+D$ |
Hi,
hab schon das Forum durchsucht, komme aber irgendwie mit der Suchfunktion nicht zurecht. Komme bei der Aufgabe gar nicht weiter.
Also, soweit bin ich gekommen. Wenn bei U die Summe aller [mm] $a_{i} [/mm] = 0$ ist, sind ja alle Koeffizienten ungleich Null, also müssten die alle lineare unabhängig sein oder?
Deswegen hätte ich auf Dimension von U gleich n getippt und dann müsste ja auch die Basis einfach die Vektoren so wie sie dastehen sein, also [mm] $(a_{1}, [/mm] ... [mm] ,a_{n})$???
[/mm]
Bei D hab ich ja immer die gleiche Zahl im Vektor stehen, d.h. alle Vektoren aus der Menge müssten lineare abhängig voneinander sein, deshalb Basis: (1, ... ,1) und Dimension gleich 1???
Jetzt komme ich aber mit dem Durchschnitt und der Summe überhaupt gar nicht zurecht. Hab keine Ahnung wie ich die bilden muss. Hab in einem Beitrag weiter vorne gesehen, dass man das in so eine Matrix schreiben kann, aber das ist ja bei mir nicht wirklich realisierbar oder??? Wenn doch, wie?
Besten Dank schonmal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei K ein Körper. Betrachte folgende Unterräume von [mm]K^n[/mm]:
> [mm]U := \{(a_{1}, ... ,a_{n}) \in K^n mit \sum_{i=1}^n a_{i} = 0\}[/mm]
>
> [mm]D := \{(a, ... ,a) \in K^n mit a \in K\}[/mm]
> Bestimmen
> Sie Basis und Dimension von [mm]U, D, U \cap D, U+D[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Den Raum D hast Du richtig verstanden. Enthält die Vektoren, deren Komponenten alle gleich sind, und wie Du richtig erkannt hast, ist [mm] (\vektor{1 \\1 \\... \\1 \\ 1}) [/mm] eine Basis von D, also dimD=1.
Aber es sieht mir so aus, als hättest Du den Raum U überhaupt nicht verstanden - möglicherweise liegt es daran, daß die Komponenten der Vektoren [mm] a_i [/mm] genannt wurden statt [mm] x_i...
[/mm]
Also, paß auf:
Welche Elemente sind in U?
Es sind die Vektoren [mm] \vektor{x_1 \\x_2 \\... \\ x_n}aus K^n, [/mm] bei denen die Summe ihrer Komponenten 0 ergibt, also [mm] x_1+x_2+...+x_n=0.
[/mm]
Hast Du den Lösungsraum dieser Gleichung gefunden, hast Du V.
Du hast hier eine Gleichung mit 5 Unbekannten. Du kannst also 4 Variable frei wählen, die 5. ist dann dadurch festgelegt.
Also haben die [mm] \vektor{x_1 \\x_2 \\... \\ x_n} \in [/mm] V die Gestalt [mm] \vektor{x_1 \\x_2 \\... \\ x_n}=\vektor{x_1 \\x_2 \\... \\ x_{n_1}\\ -(x_1+x_2+...+x_{n_1})}
[/mm]
Ich hoffe, daß Du jetzt etwas klarer siehst und die Dimension bestimmen kannst.
Zum Durchschnitt:
Bei den Vektoren, die im Durchschnitt liegen, müßten ja gleichzeitig alle Komponenten gleich sein und deren Summe 0 ergeben.
Welche Vektoren tun's?
Zur Summe:
Du solltest jetzt die Dimensionen von V,D und V [mm] \cap [/mm] D kennen.
Mit dem Dimensionssatz erhältst Du die Dimension der Summe. Anschließend kannst Du Dir überlegen, welcher Raum das sein muß.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 04.02.2007 | | Autor: | kaine |
Hi angela,
schon mal großen Dank für die Hilfe.
Also wenn ich die Argumentation richtig verstanden habe, dann müsste die Dimension von U auch 1 sein als Basis kann man dann lauter einsen und in der letzten Zeile -(n-1) nehmen, damit alle Einsen wieder aufgehoben werden. Hab ich das jetzt richtig verstanden?
Alle Komponenten sollen gleich sein und die Summe Null, das könnte eigentlich nur der Nullvektorraum sein oder? Der hat logischerweise die Dimension Null
und mit dem Dimensionssatz erhalte ich ja dann dim(D) + dim(U) - [mm] dim(D$\cap$U) [/mm] = 1+1-0 = 2. Das heißt ich nehme hier als Basis, die von [mm] $K^2$???
[/mm]
Bitte nochmal um Korrektur falls das unsinn ist, was ich jetzt von mir gegeben habe *g*
Besten Dank
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Hallo,
zu Dimension von U ist Dir weiter unten ja inzwischen etwas Richtiges eingefallen.
Zum Schnitt:
> Alle Komponenten sollen gleich sein und die Summe Null,
> das könnte eigentlich nur der Nullvektorraum sein oder? Der
> hat logischerweise die Dimension Null
Richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 04.02.2007 | | Autor: | kaine |
Halt, mir kam gerade eben noch ein Gedanke. Kanns sein, dass der Lösungsraum der Gleichung ein Raum mit (n-1) Vektoren ist und dann auch die Dimension gleich (n-1) ist und als Basis nehme ich (n-1) Vektoren die nach der Reihe eine 1 in der ersten, zweiten, dritten, .... Komponente stehen habe?
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> Halt, mir kam gerade eben noch ein Gedanke. Kanns sein,
> dass der Lösungsraum der Gleichung ein Raum mit (n-1)
> Vektoren ist und dann auch die Dimension gleich (n-1) ist
> und als Basis nehme ich (n-1) Vektoren die nach der Reihe
> eine 1 in der ersten, zweiten, dritten, .... Komponente
> stehen habe?
Haargenau!
Und in der letzen Komponente -1, das hast Du jetzt nicht dazugeschrieben.
Nun mußt Du natürlichdie Dimension der Summe neu berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 04.02.2007 | | Autor: | kaine |
nur noch mal fragen, ob ich das richtig verstanden hab... in jeden dieser vektoren ganz unten die -1 oder?
und summe wäre dann ja [mm] $K^n$ [/mm] mit den einheitsvektoren als basis
Großen Dank, du hast mir echt supi geholfen.
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> nur noch mal fragen, ob ich das richtig verstanden hab...
> in jeden dieser vektoren ganz unten die -1 oder?
Genau.
> und summe wäre dann ja [mm]K^n[/mm]
Ja, weil die Dimension der Summe =k ist.
mit den einheitsvektoren als
> basis
Du kannst irgendeine Basis angeben, z.B. die Einheitsbasis. (Auch die Basis von U, zu welcher Du den Basisvektor von D zufügst, ist eine Basis des [mm] K^n)
[/mm]
Gruß v. Angela
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