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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Untervektorräume U der angegebenen Räume eine Basis über [mm] \mathbb R [/mm]
1. [mm] U=\{(x_1 , x_2,x_3)^t \in \mathbb R ^3 | x_1 +x_2+x_3=0\} [/mm] |
Hallo,
also ich schreibe mal wie ich das verstehe. Mit dem Untervektorraum U sind genau die Vektoren gemeint, für die die Bedingung [mm] x_1 +x_2+x_3=0[/mm] gilt.
Nun habe ich mir überlegt, dass es jene Vektoren sind die folgende Gestalt haben:
[mm] u_1=\vektor{x_1 \\ -x_1 \\ 0 } [/mm]
[mm] u_2=\vektor{0 \\ x_2 \\ -x_2 } [/mm]
[mm] u_3=\vektor{-x_3\\ 0 \\ x_3 } [/mm]
Stimmt das soweit?
Nun muss ich doch prüfen ob diese Linear Unabhängig sind. Also
[mm] \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0 [/mm]
gilt nur für [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 [/mm].
Nun ich rechne das nach und komme am Ende auf:
[mm] \lambda_3(x_3-x_3)=0 [/mm]
Das ist doch irgendwie unlogisch? Wenn daraus nicht [mm] \lambda_3=0 [/mm] folgt, könnt ihr mir zeigen bzw. erklären wie ich hier auf eine korrekte Lösung komme.
Als zweites muss ich doch Prüfen ob [mm] span(u_1,u_2,u_3)=U [/mm] ist, und dann weiß ich dass das die Basen sind. Hier komme ich überhaupt nicht vorran, weil ich da kein logisches Ergebnis rausbekomme..
Sind die Elemente die ich gewählt habe falsch?
Lg
Boastii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Do 30.01.2014 | | Autor: | meili |
Hallo Boastii,
> Bestimmen Sie für die folgenden Untervektorräume U der
> angegebenen Räume eine Basis über [mm]\mathbb R[/mm]
> 1. [mm]U=\{(x_1 , x_2,x_3)^t \in \mathbb R ^3 | x_1 +x_2+x_3=0\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> also ich schreibe mal wie ich das verstehe. Mit dem
> Untervektorraum U sind genau die Vektoren gemeint, für die
> die Bedingung [mm]x_1 +x_2+x_3=0[/mm] gilt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun habe ich mir überlegt, dass es jene Vektoren sind die
> folgende Gestalt haben:
>
> [mm]u_1=\vektor{x_1 \\ -x_1 \\ 0 } [/mm]
> [mm]u_2=\vektor{0 \\ x_2 \\ -x_2 } [/mm]
>
> [mm]u_3=\vektor{-x_3\\ 0 \\ x_3 } [/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Diese 3 Vektoren sind aus U.
Aber konkreter lassen sie sich schreiben als:
[mm] $u_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $u_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1}$
[/mm]
[mm] $u_3 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
> Nun muss ich doch prüfen ob diese Linear Unabhängig sind.
> Also
> [mm]\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 = 0[/mm]
> gilt
> nur für [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 [/mm].
Nein, zwar erfüllt [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 [/mm] das
Gleichungssystem. Es ist aber nicht die einzige Lösung,
es gibt auch noch andere Lösungen.
Wie hast du das Gleichungssystem aufgelöst?
>
> Nun ich rechne das nach und komme am Ende auf:
> [mm]\lambda_3(x_3-x_3)=0[/mm]
> Das ist doch irgendwie unlogisch? Wenn daraus nicht
> [mm]\lambda_3=0[/mm] folgt, könnt ihr mir zeigen bzw. erklären wie
> ich hier auf eine korrekte Lösung komme.
Du könnest von der Gleichung [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$ ausgehen.
Man sieht 2 Variable kann man wählen, dann ist die 3. bestimmt.
Also reichen 2 Basisvektoren.
>
> Als zweites muss ich doch Prüfen ob [mm]span(u_1,u_2,u_3)=U[/mm]
> ist, und dann weiß ich dass das die Basen sind. Hier komme
> ich überhaupt nicht vorran, weil ich da kein logisches
> Ergebnis rausbekomme..
>
> Sind die Elemente die ich gewählt habe falsch?
>
> Lg
> Boastii
Gruß
meili
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> Bestimmen Sie für die folgenden Untervektorräume U der
> angegebenen Räume eine Basis über [mm]\mathbb R[/mm]
> 1. [mm]U=\{(x_1 , x_2,x_3)^t \in \mathbb R ^3 | x_1 +x_2+x_3=0\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> also ich schreibe mal wie ich das verstehe. Mit dem
> Untervektorraum U sind genau die Vektoren gemeint, für die
> die Bedingung [mm]x_1 +x_2+x_3=0[/mm] gilt.
Hallo,
genau.
Die Vektoren aus U sind von der Bauart
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{x_1\\x_2\\-x_1-x_2}=x_1\vektor{1\\0\\-1}+x_2\vektor{0\\1\\-1}...
[/mm]
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Do 30.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend: erinnere Dich an Deine Schulzeit !
U ist eine Ebene im [mm] \IR^3, [/mm] die durch [mm] (0,0,0)^t [/mm] geht.
In der Aufgabe ist diese Ebene in der Normalenform gegeben. Nun hast Du in der Schule solche Ebenengleichungen sicher schon mal in Parameterform umrechnen müssen. Das mache auch hier !
Finde also linear unabhängige $u,v [mm] \in \IR^3$ [/mm] mit:
[mm] $U=\{s*u+t*v: s,t \in \IR\}.
[/mm]
Eine Basis von U ist dann [mm] \{u,v\}.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Do 30.01.2014 | | Autor: | Boastii |
Hallo, danke für Eure Antworten.
Habe meine Fehler erkannt und mittlerweile eigenständig lösen können.
trotdem danke für Eure Mühe.
Gruß
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