Basis eines Untervektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mi 19.05.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Sei U = < [mm] u_{1} [/mm] = [mm] \vektor{ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 4 }, u_{2} [/mm] = [mm] \vektor{ -1 \\ 1 \\ 0 \\ -5}, u_{3}=\vektor{3 \\ 1 \\ 2 \\ 3} [/mm] > [mm] \subseteq \IR^{4} [/mm] ein Untervektorraum.
Bestimme alle Teilmengen I [mm] \subseteq [/mm] {1,2,3}, so dass das System [mm] (u_{i} [/mm] | i [mm] \in [/mm] I) eine Basis von U ist. |
Genügt es hier die einzelnen Vektoren [mm] u_{i}, [/mm] paarweise (alle 3 sind linear abhängig) auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen? Oder muss ich auch noch zeigen, dass die Paare ein Erzeugendensystem von U sind? Was ist mit einzelnen [mm] u_{i}, [/mm] können die auch Basen sein?
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> Sei U = < [mm]u_{1}[/mm] = [mm]\vektor{ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 4 }, u_{2}[/mm] =
> [mm]\vektor{ -1 \\ 1 \\ 0 \\ -5}, u_{3}=\vektor{3 \\ 1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> > [mm]\subseteq \IR^{4}[/mm] ein Untervektorraum.
> Bestimme alle Teilmengen I [mm]\subseteq[/mm] {1,2,3}, so dass das
> System [mm](u_{i}[/mm] | i [mm]\in[/mm] I) eine Basis von U ist.
> Genügt es hier die einzelnen Vektoren [mm]u_{i},[/mm] paarweise
> (alle 3 sind linear abhängig) auf lineare Unabhängigkeit
> zu prüfen?
Hallo,
die drei vektoren sind auf jeden Fall ein Erzeugendensystem von U.
Du hast festgestellt, daß sie keine Basis sind.
Wahrscheinlich hast Du das geprüft, indem Du die Vektoren als Spalten oder Zeilen in eine Matrix gegeben hast.
Wenn Du das getan hast, hast Du gesehen, daß der Rang der Matrix =2 ist.
Also ist die Dimension des von den Vektoren aufgespannten Raumes =2, dh. jede Basis besteht aus genau 2 Vektoren.
Du mußt nun nur noch "prüfen", welche der Paare [mm] u_i, u_j [/mm] linear unabhängig sind.
> Oder muss ich auch noch zeigen, dass die Paare
> ein Erzeugendensystem von U sind?
Nein.
> Was ist mit einzelnen
> [mm]u_{i},[/mm] können die auch Basen sein?
Da wir aus dem Rang der Matrix wissen, daß der aufgespannte Raum die Dimension 2 hat, wissen wir, daß jede Basis zwei Vektoren enthält.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mi 19.05.2010 | | Autor: | stk66 |
Danke für die schnelle Antwort.
Leider sind die Begriffe "Rang einer Matrix" und "Dimension" noch nicht in der Vorlesung eingeführt worden. Muss also ohne die auskommen.
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> Danke für die schnelle Antwort.
> Leider sind die Begriffe "Rang einer Matrix" und
> "Dimension" noch nicht in der Vorlesung eingeführt worden.
> Muss also ohne die auskommen.
Achso, Ihr seid also wirklich noch ganz am Anfang.
Daß die drei Vektoren keine Basis sind, weißt Du schon. Sie sind ja nicht linear unabhängig.
Jetzt testest Du die drei Paare. (Ergebnis: alle linear unabhängig.)
Da Ihr offenbar sehr am Anfang seid, würde ich dann aber doch noch vormachen, wie man z.B. mit [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] jeden Vektor aus U erzeugen kann - also "Erzeugendensystem" zeigen:
Sei [mm] u\in [/mm] U.
Dann gibt es [mm] \lambda_i [/mm] mit
[mm] u=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3(2u_1+u_2)
[/mm]
[mm] =(...)u_1+ (...)u_2,
[/mm]
also wird jedes [mm] u\in [/mm] U von [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] erzeugt.
Die einzelnen Vektoren können keine Basis sein.
Entweder berufst Du Dich, falls es dran war, darauf, daß eine Basis ein maximales linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.
Oder Du machst vor, daß man mit [mm] u_1 [/mm] nicht [mm] u_2 [/mm] erzeugen kann. (Die anderen entsprechend.)
Gruß v. Angela
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