Basis eines UR bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Do 02.02.2006 | | Autor: | heine789 |
| Aufgabe | Gegeben ist die folgende Teilmenge des Vektorraumes [mm] \IR^{2} [/mm] (versehen mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation)
U = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | 2x - 5y = a} mit a [mm] \in \IR.
[/mm]
Untersuchen Sie, ob U ein Untervektorraum des [mm] \IR^{2} [/mm] ist. Falls ja, geben Sie eine Basis von U an. Was stellt U geometrisch dar? |
Hallo zusammen!
Ich hab mit obiger Aufgabe so meine Schwierigkeiten!
UR hab ich so gezeigt:
[mm] (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})
[/mm]
Auf die Definition angewendet:
[mm] 2x_{1}-5y_{1}+2x_{2}-5y_{2} [/mm] = [mm] 2(x_{1}+x_{2})-5(y_{1}+y_{2}) [/mm] = a
k(x,y) = (kx,ky) , k [mm] \in \IR
[/mm]
Auf die Definition angewendet:
2kx - 5ky = k(2x-5y) = a
Hoffe mal, dass das so stimmt.
Geometrisch müsste der Unterraum eine Gerade durch den Ursprung sein, mit Steigung -5/2.
Wenn das stimmt, dann ist doch eine Basis ein Vektor auf dieser Geraden, oder?
Damit müsste ja dann (2, -5) ein Basisvektor sein!?
grüße heine789
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Do 02.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
schön, dass du deine eigenen Gedanken gut hier aufschreibst - dies wird immer gerne gesehen.
du hast aber leider vergessen zu zeigen, dass der Unterraum nicht leer ist !
Außewerdem beachtest du das a innerhalb der Aufgabe nicht.
> 2kx - 5ky = k(2x-5y) = a
dies soll für alle k gelten, also auch für k=0 - wie muss also a gewählt werden ?!?
> Geometrisch müsste der Unterraum eine Gerade durch den
> Ursprung sein, mit Steigung -5/2.
wäre die Gerade nicht : y=2/5*x-a ?
aber dann hast du recht - eine Gerade durch den Ursprung , WENN a=0 !!
(und auch nur dann ist es ein (nicht-affiner) Unterraum ! )
> Wenn das stimmt, dann ist doch eine Basis ein Vektor auf
> dieser Geraden, oder?
richtig, aber überprüf doch nochmal bitte die Umformung nach y - kann ja sein, dass ich mich jetzt auch verrechnet habe^^
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Do 02.02.2006 | | Autor: | heine789 |
Hallo! Danke für deine rasche Unterstützung!
Nach y aufgelöst:
y = [mm] \bruch{2}{5}x [/mm] - [mm] \bruch{a}{5}
[/mm]
Dann wäre die Steigung der Geraden [mm] +\bruch{2}{5} [/mm] und ginge durch den Ursprung mit a=0. D.h. meine Basis ist abhängig von a.
Ein Basisvektor ist (5, 2) , mit a=0. Also allgemein [mm] (5,2)-\bruch{a}{5}. [/mm] Wäre das die korrekte Antwort?
Aber zu deinen anderen Anmerkungen weiß ich leider nicht weiter? Könntest du das konkreter schildern?
Ich dachte nämlich, es reicht aus, die Unterraumkriterien zu zeigen. Warum muss ich noch zeigen, dass der UR nicht leer ist?
Was meinst du ausserdem damit, dass ich das a nicht beachte?
gruß heine
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Hallo heine789,
deine Rechnung scheint soweit jetzt richtig.
Bei deinem Beweis zum UVR fehlt die Tatsache, dass immer das neutrale Element enthalten sein muss! Deswegen muss a auch 0 sein, da du sonst nur einen affinen Unterraum hättest. Ein Unterraum im [mm] \IR² [/mm] kann immer nur eine Ursprungsgerade sein, oder eben nur die 0.
Und da du nun beim Nachrechnen der Unterraumkriterien feststellst, dass sie nur für a=0 erfüllt sind, solltest du deine Basis auch dementsprechend angeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Do 02.02.2006 | | Autor: | heine789 |
Vielen Dank für eure Hilfe!
Hab also gezeigt, dass mit k=0, der Nullvektor [mm] \in [/mm] U enthalten ist.
Und damit ich keinen affinen UR bekomme, setzte ich a=0 und erhalte somit den Basisvektor (5, 2).
Ich denke mal, dass das so von euch gemeint war.
gruß heine
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