Basis einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll die Matrix von U=<(1,1,1),(2,1,1),(4,3,3)> [mm] \subseteq \IR^3
[/mm]
Das habe ich jetzt in eine Matrix geschrieben.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 }
[/mm]
Jetzt mit Gauß umgeformt
dann bekomme ich [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Ist meine Basis dann die Zeilenvektoren also [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}??
[/mm]
Ist das so richtig. Bin mir nicht so sicher ob es zeilen oder spalteneinträge sein müssen.
Eine andere Frage ist wenn ich z.b. eine 4x3 Matrix habe. z.B.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 1 2 3
Wenn ich hier zum bsp. eine basis bilden will muss die dreiecksform so aussehen
1 2 3 4
0 6 7 8
0 0 2 3
aussehen oder
so
1 2 3 4
0 0 7 8
0 0 0 3
???
Gruß
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Hallo Schmetterling99,
was ist die "Basis einer Matrix" (deine Überschrift) ??
Ich kenne nur Basen von Vektorräumen ...
> Hallo,
> ich soll die Matrix von U=<(1,1,1),(2,1,1),(4,3,3)> [mm]\subseteq \IR^3[/mm]
Was? Anmalen? Bestimmen?
Da fehlt ein Verb ...
Und was ist die Matrix eines Spanns??
> Das habe ich jetzt in eine Matrix
> geschrieben.
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 \\
1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 3 }[/mm]
> Jetzt mit
> Gauß umgeformt
> dann bekomme ich [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist meine Basis dann die Zeilenvektoren also [mm]\vektor{1 \\
2 \\
4}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1}??[/mm]
> Ist das so richtig.
Nein, du hast mit der Rechnerei nun den Rang der Matrix bestimmt.
Der ist 2
(Übrigens ist Zeilenrang=Spaltenrang)
Damit weißt du, dass aus den 3 Vektoren, die [mm]U[/mm] aufspannen, 2 linear unabh. sind, wähle dir also 2 linear unabh. Vektoren aus den dreien aus und du hast eine Basis von [mm]U[/mm]
> Bin mir nicht so sicher ob es zeilen oder spalteneinträge sein
> müssen.
Wie gesagt, musst du aus den gegebenen Vektoren entsprechend dem berechneten Rang dann 2 linear unabh. Vektoren rauspicken, die es als Basis von U tun ...
>
> Eine andere Frage ist wenn ich z.b. eine 4x3 Matrix habe.
> z.B.
> 1 2 3 4
> 5 6 7 8
> 9 1 2 3
>
> Wenn ich hier zum bsp. eine basis bilden will muss die
> dreiecksform so aussehen
> 1 2 3 4
> 0 6 7 8
> 0 0 2 3
> aussehen oder
> so
> 1 2 3 4
> 0 0 7 8
> 0 0 0 3
> ???
Beides ist in Dreiecksform. Der Rang (=Zeilenrang=Spaltenrang) ist 3
Von den 4 Spaltenvektoren sind also 3 linear unabh., wähle 3 passende linear unabh. Spaltenvektoren (aus der Ausgangsmatrix) aus und du hast eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
Gruß
schachuzipus
> Gruß
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Hallo,
danke erstmal. Tut mir leid, wegen den vielen Fehlern. Ich habe gestern sehr schnell geschrieben.
Also lauten meine Basenvektoren
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
oder hätte ich die Spalten wählen sollen??
Gruß
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öhm, nein erstmal^^
[mm]\vektor{1 \\
2 \\
4}[/mm] ist garnicht in U enthalten und kann somit natürlich auch kein Element der Basis sein...
Du gehst die ganze Sache falsch an.
Überleg dir erstmal was genau lineare Abhängigkeit bedeutet.
Deine drei Vektoren [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] sind linear abhängig, wenn es a,b,c [mm]\in \IR[/mm] gibt mit [mm]a*x_1 + b*x_2 + c*x_3 = 0[/mm] und mindestens einer der a,b,c ungleich 0 ist.
Nun solltest du zu erst mal a,b,c berechnen.
Dafür am besten folgendes lineares Gleichungssystem lösen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\
1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 3 } * \vektor{a \\
b \\
c} = 0[/mm]
Dann kriegst du Werte für a,b,c und mindestens einer davon ist ungleich 0.
Den Vektor dessen Vorfaktor ungleich 0 ist kannst du dann wegfallen lassen.
Also wenn du zB a = 5, b = 3, c = 0 rauskriegst darfst du entweder [mm]x_1[/mm] oder [mm]x_2[/mm] wegfallen lassen, nicht aber [mm]x_3[/mm].
Also rechne mal a,b,c aus und lasse dann einen wegfallen.
Du hast ja bereits gezeigt (da der Rang der Matrix 2 ist), dass du genau einen wegfallen lassen kannst, also wenn du noch zwei Vektoren übrig hast dann sind die eine Basis von U.
Also nochmal kurz und knapp:
Du musst mit einem linearen Gleichungssystem die Vorfaktoren für [mm]\summe a_i*x_i = 0[/mm] ausrechnen.
Sind die alle gleich 0 so sind deine Vektoren linear unabhängig und du hast bereits eine Basis.
Ist eines der [mm]a_i[/mm] ungleich 0 so lässt du das entsprechende [mm]x_i[/mm] (nur eins auf einmal!) wegfallen und fängst wieder von vorne an, so lange bis deine Vektoren alle linear unabhängig sind; dann hast du eine Basis.
MfG
Schadowmaster
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Hallo, danke.
Also habe ich das das GS
a+2b+4c=0
a+b+3c=0
a+b+3c=0
Und wenn ich jetzt die zweite Zeile mit der dritten subtrahiert. Dann bekomme ich ja
a+2b+4c=0
0=0
0=0 sagt mir ja das das Gleichungssystem linear abhängig ist. Aber meine Basis kann ich jetzt doch immer noch nicht ablesen. Oder mache iche etwas falsch??
Gruß
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Hallo nochmal,
> Hallo, danke.
> Also habe ich das das GS
> a+2b+4c=0
> a+b+3c=0
> a+b+3c=0
>
> Und wenn ich jetzt die zweite Zeile mit der dritten
> subtrahiert. Dann bekomme ich ja
> a+2b+4c=0
> 0=0
>
> 0=0 sagt mir ja das das Gleichungssystem linear abhängig
> ist.
Genau, du hast mit $c$ eine frei wählbare Variable, die kannst du zB. auf $c=1$ setzen.
Damit ist $a=b=c=0$ nicht die einzige Lösung des LGS, also sind die 3 Vektoren linear abh.
> Aber meine Basis kann ich jetzt doch immer noch nicht
> ablesen. Oder mache iche etwas falsch??
Na, du hast doch den Rang der Matrix schon zu 2 bestimmt.
Damit ist $U$ ein 2-dimensionaler UVR des [mm] $\IR^3$
[/mm]
Du musst lediglich aus den 3 Vektoren, die $U$ aufspannen, 2 auswählen, die linear unabh. sind, diese bilden dann eine Basis von $U$
Die Auswahl ist aber doch ein Klacks, denn 2 Vektoren sind genau dann linear abh., wenn sie Vielfache voneinander sind.
Suche dir also 2 Vektoren aus, die KEINE Vielfachen voneinander sind, und du bist schon fertig!
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hallo, danke nochmal.
Also lauten meine Basisvektoren [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] ??
Gruß
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