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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:05 Di 24.07.2007 | | Autor: | JB84 |
| Aufgabe | Geben Sie den Rang von A und eine Basis des Spaltenraums von A an.
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -5 & -4 \\ 4 & 1 & -1 & -2}
[/mm]
Ax = [mm] \pmat{ 8 \\ 7 \\ 23}
[/mm]
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Das mit dem Rang ist mir klar. (Rang = 2). Wie komme ich nun aber auf die Basis? Wie macht man das allgemein wenn ich die Lösungsmenge bestimmt habe?
[mm] x_{1} [/mm] = 5 + [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 3 - [mm] 3\alpha [/mm] - [mm] 2\beta
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \alpha [/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \beta
[/mm]
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> Geben Sie den Rang von A und eine Basis des Spaltenraums
> von A an.
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> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -5 & -4 \\ 4 & 1 & -1 & -2}[/mm]
>
> Ax = [mm]\pmat{ 8 \\ 7 \\ 23}[/mm]
>
>
> Das mit dem Rang ist mir klar. (Rang = 2). Wie komme ich
> nun aber auf die Basis?
Hallo,
da Du weißt, daß der Rang der Matrix =2 ist, brauchst Du aus den Spalten lediglich 2 linear unabhängige herauszupicken. Diese bilden dann eine Basis des Spaltenraumes, also des Bildes von A.
> Wie macht man das allgemein wenn
> ich die Lösungsmenge bestimmt habe?
> $ [mm] x_{1} [/mm] $ = 5 + $ [mm] \alpha [/mm] $ + $ [mm] \beta [/mm] $
> $ [mm] x_{2} [/mm] $ = 3 - $ [mm] 3\alpha [/mm] $ - $ [mm] 2\beta [/mm] $
> $ [mm] x_{3} [/mm] $ = $ [mm] \alpha [/mm] $
> $ [mm] x_{4} [/mm] $ = $ [mm] \beta [/mm] $
Ist das die Lösung des GS [mm] Ax=\pmat{ 8 \\ 7 \\ 23}? [/mm] (Ich rechne es nicht nach.)
Du weißt dann, daß sämtliche Lösungen diese Gestalt haben:
[mm] \vec{x}=\pmat{ x_1 \\ x_2 \\ x_3\\x_4} =\pmat{ 5 + \alpha + \beta \\ 3 - 3\alpha - 2\beta \\ \alpha\\ \beta } =\pmat{ 5 \\ 3 \\ 0\\0} +\alpha\pmat{ 1 \\ -3 \\ 1\\0}+\beta\pmat{ 1 \\ -2 \\ 0\\1}.
[/mm]
Also kannst Do die Lösungsmenge schreiben als
[mm] L=\{\pmat{ 5 \\ 3 \\ 0\\0} +\alpha\pmat{ 1 \\ -3 \\ 1\\0}+\beta\pmat{ 1 \\ -2 \\ 0\\1}| \alpha, \beta \in \IR \}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 24.07.2007 | | Autor: | JB84 |
vielen dank. das hat mir sehr geholfn.
gruss jonas
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