Basis des R³ < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 So 10.07.2005 | | Autor: | Diddl |
Hallo, habe noch eine kurze Frage zu der Folgenden Aufgabe.
Sei A:= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2} [/mm] und B:= [mm] \pmat{ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1} [/mm] , sowie x:= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Spalten von A und von B jeweils eine Basis des [mm] \IR³ [/mm] bilden.
Um zu zeigen, daß die Spalten eine Basis bilden, reicht doch die Bestimmung der Determinanten oder irre ich mich da ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 So 10.07.2005 | | Autor: | Nam |
Du musst zeigen, dass [mm]\det(A) \not= 0[/mm] und [mm]\det(B) \not= 0[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 10.07.2005 | | Autor: | Diddl |
alles okay no problem..aber wie berechne ich von zwei matrizen jeweil die koordinatenvektoren und ene basiswechselmatrix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Diddl!
Es sei [mm] ${\cal A}$ [/mm] die durch die Matrix $A$ gegebene und [mm] ${\cal B}$ [/mm] die durch die Matrix $B$ gegebene Basis des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Willst du den Koordinatenvektor [mm] $\pmat{1 \\ 2 \\ 3}_{{\cal A}}$ [/mm] von [mm] $\pmat{1 \\ 2 \\ 3}$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] ${\cal A}$ [/mm] bestimmen, so musst du das folgende lineare Gleichungssystem lösen:
[mm] $\pmat{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = [mm] \lambda_1 \cdot \pmat{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \pmat{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot \pmat{0 \\ 1 \\2}$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\pmat{1 \\ 2 \\ 3}_{{\cal A}} [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3}$.
[/mm]
Zur Basiswechselmatrix:
In [mm] $T_{{\cal A}}^{{\cal B}}$ [/mm] stehen in den Spalten die Koordinaten der Basis [mm] ${\cal A}$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] ${\cal B}$ [/mm] stehen. Dann gilt, wenn [mm] ${\cal E}_3$ [/mm] die kanonische Einheitsbasis des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist:
[mm] $T_{{\cal A}}^{{\cal B}} [/mm] = [mm] T_{{\cal E}_3}^{{\cal B}} \cdot T_{{\cal A}}^{{\cal E}_3} [/mm] = [mm] \left( T_{{\cal B}}^{{\cal E}_3} \right)^{-1} \cdot T_{{\cal A}}^{{\cal E}_3} [/mm] = [mm] B^{-1} \cdot [/mm] A$.
Viele Grüße
Julius
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