Basis des Nullraumes angeben? < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Do 20.01.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Bestimme von der in Zeilenstufenform gegebene Matrix A die Basis eines Nullraumes:
A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} [/mm] |
Ich soll ja nun von oben gegebener Matrix die Basis eines Nullraumes bestimmen. Dazu bestimmt man doch jetzt erst die Lösungsmenge des lin. Gls. Die sieht dann so aus:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] 14-3x_3
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -16-x_3
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = -49
[mm] x_5 [/mm] = 10
[mm] \mathbb [/mm] L = [mm] \left\{\begin{pmatrix} 14-3x_3 \\ -16-x_3 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} | x_3 \in \mathbb R \right\} [/mm] = [mm] \left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | t \in \mathbb R \right\}
[/mm]
Nun kann ich aus dieser Lösungsmenge den Vektor der Basis des Nullraumes aus der Lösungsmenge ablesen:
[mm] \mathbb [/mm] B = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Könnt ihr mir das sagen?
Noch eine Frage: Wie lese ich die Basis des Nullraumes aus der Lösungsmenge ab, wenn es mehr als eine freie Variable gibt und ich dementsprechend z.B. einen "s" und einen "t" Vektor in der Lösungsmenge stehen hab?
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Hallo bandchef,
> Bestimme von der in Zeilenstufenform gegebene Matrix A die
> Basis eines Nullraumes:
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> A = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix}[/mm]
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> Ich soll ja nun von oben gegebener Matrix die Basis eines
> Nullraumes bestimmen. Dazu bestimmt man doch jetzt erst die
> Lösungsmenge des lin. Gls. Die sieht dann so aus:
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]14-3x_3[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm]-16-x_3[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = -49
> [mm]x_5[/mm] = 10
>
> [mm]\mathbb[/mm] L = [mm]\left\{\begin{pmatrix} 14-3x_3 \\ -16-x_3 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} | x_3 \in \mathbb R \right\}[/mm]
> = [mm]\left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | t \in \mathbb R \right\}[/mm]
>
> Nun kann ich aus dieser Lösungsmenge den Vektor der Basis
> des Nullraumes aus der Lösungsmenge ablesen:
>
> [mm]\mathbb[/mm] B = [mm]\left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
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> Ist das soweit richtig? Könnt ihr mir das sagen?
Das ist soweit richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Do 20.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Müsste in den ersten Lösungsvektor nicht noch die freie Variable [mm] x_3 [/mm] rein? Das würde dann so aussehen:
L = $ [mm] \left\{\begin{pmatrix} 14-3x_3 \\ -16-x_3 \\ x_3 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} | x_3 \in \mathbb R \right\} [/mm] $
= $ [mm] \left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | t \in \mathbb R \right\} [/mm] $
Noch eine Frage: Wie lese ich die Basis des Nullraumes aus der Lösungsmenge ab, wenn es mehr als eine freie Variable gibt und ich dementsprechend z.B. einen "s" und einen "t" Vektor in der Lösungsmenge stehen hab?
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Hallo bandchef,
> Müsste in den ersten Lösungsvektor nicht noch die freie
> Variable [mm]x_3[/mm] rein? Das würde dann so aussehen:
>
> L = [mm]\left\{\begin{pmatrix} 14-3x_3 \\ -16-x_3 \\ x_3 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} | x_3 \in \mathbb R \right\}[/mm]
>
> = [mm]\left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | t \in \mathbb R \right\}[/mm]
Ja, da hast Du recht.
>
> Noch eine Frage: Wie lese ich die Basis des Nullraumes aus
> der Lösungsmenge ab, wenn es mehr als eine freie Variable
> gibt und ich dementsprechend z.B. einen "s" und einen "t"
> Vektor in der Lösungsmenge stehen hab?
Das sind dann die Vektoren vor den freien Variablen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Do 20.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Das sind dann die Vektoren vor den freien Variablen."
Ich verstehe das nicht. Was sind das dann für Vektoren vor den freien Variablen? Angenommen, wir hätten diese Lösungsmenge:
[mm] $\mathbb [/mm] L = [mm] \left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | s, t \in \mathbb R \right\} [/mm] $
Wie ergibt sich dann hier der Nullraum?
Weitere Frage zu ursprünglichen Aufgabe: Bestimmen sie den Zeilenraum von A. Dann sieht der Zeilenraum doch so aus:
[mm] \mathbb B_Z [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}
[/mm]
Was muss ich nun tun, wenn es weiter heißt: Überprüfen sie ob die Vektoren aus a) (Teilaufgabe a) war die mit der Bestimmung des Nullraums) und b) (Teilaufgabe b) war die mit der Bestimmung des Zeilenraumes) senkrecht aufeinander stehen.
Mein Problem dabei ist, das bei Teilaufgabe b) ja nicht ein einzelner Vektor sondern eine Basis von insgesamt 4 Vektoren entstanden sind. Wie soll ich denn nun mit eigentlich insgesamt 5 Vektoren mit dem Skalarprodukt prüfen ob die senkrecht aufeinander stehen?
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Hallo bandchef,
> Zitat: "Das sind dann die Vektoren vor den freien
> Variablen."
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> Ich verstehe das nicht. Was sind das dann für Vektoren vor
> den freien Variablen? Angenommen, wir hätten diese
> Lösungsmenge:
>
> [mm]\mathbb L = \left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | s, t \in \mathbb R \right\}[/mm]
Das soll doch bestimmt so lauten:
[mm]\mathbb L = \left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +\blue{s} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | s, t \in \mathbb R \right\}[/mm]
>
> Wie ergibt sich dann hier der Nullraum?
>
Dann besteht die Basis des Nullraumes aus den Vektoren
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Weitere Frage zu ursprünglichen Aufgabe: Bestimmen sie den
> Zeilenraum von A. Dann sieht der Zeilenraum doch so aus:
>
>
> [mm]\mathbb B_Z[/mm] = [mm]\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
>
> Was muss ich nun tun, wenn es weiter heißt: Überprüfen
> sie ob die Vektoren aus a) (Teilaufgabe a) war die mit der
> Bestimmung des Nullraums) und b) (Teilaufgabe b) war die
> mit der Bestimmung des Zeilenraumes) senkrecht aufeinander
> stehen.
Das Skalarprodukt jedes Vektors aus [mm]\mathbb B_Z[/mm]
mt jedem Vektor aus dem Nullraum muss 0 ergeben.
Das hast Du schon mit der Bestimmung des Nullraumes erledigt.
>
> Mein Problem dabei ist, das bei Teilaufgabe b) ja nicht ein
> einzelner Vektor sondern eine Basis von insgesamt 4
> Vektoren entstanden sind. Wie soll ich denn nun mit
> eigentlich insgesamt 5 Vektoren mit dem Skalarprodukt
> prüfen ob die senkrecht aufeinander stehen?
Siehe oben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 20.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich nun noch eine Basis des Spaltenraumes angeben soll, werden die Pivot-Spalten von A zu den Vektoren der Basis. Die sieht dann so aus:
$ [mm] \mathbb B_S [/mm] $ = $ [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} [/mm] $
Du hast recht es muss so lauten:
$ [mm] \mathbb [/mm] L = [mm] \left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +\blue{s} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | s, t \in \mathbb R \right\} [/mm] $
Mir ist übrigens bei der angabe der Lösungsvektors von A noch ein Fehler aufgefallen:
$ [mm] \mathbb [/mm] L = [mm] \left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | s, t \in \mathbb R \right\} [/mm] $
Es muss beim t-Vektor -3 anstatt 3 heißen.
So, ich denke die Aufgabe ist dann soweit fertig! Ich danke dir sehr für deine Hilfe! Ciao bis zum nächsten Mal!
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Hallo bandchef,
> Wenn ich nun noch eine Basis des Spaltenraumes angeben
> soll, werden die Pivot-Spalten von A zu den Vektoren der
> Basis. Die sieht dann so aus:
>
> [mm]\mathbb B_S[/mm] = [mm]\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
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> Du hast recht es muss so lauten:
>
> [mm]\mathbb L = \left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +\blue{s} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | s, t \in \mathbb R \right\}[/mm]
>
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>
> Mir ist übrigens bei der angabe der Lösungsvektors von A
> noch ein Fehler aufgefallen:
>
> [mm]\mathbb L = \left\{\begin{pmatrix} 14 \\ -16 \\ 0 \\ -49 \\ 10 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | s, t \in \mathbb R \right\}[/mm]
>
>
> Es muss beim t-Vektor -3 anstatt 3 heißen.
>
Ok.
>
> So, ich denke die Aufgabe ist dann soweit fertig! Ich danke
> dir sehr für deine Hilfe! Ciao bis zum nächsten Mal!
Gruss
MathePower
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