Basis der Ebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 So 13.01.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Finden Sie bzgl. des Standard-Skalarproduktes im [mm] \IR^3 [/mm] eine orthonormale Basis für die Ebene [mm] E=\{ (x,y,z) \in \IR^3|x-2y+5z=0\} [/mm] |
Hallo,
also, ich weiß ja was eine orthonormale Basis ist, von daher hab ich da ja eher kein Problem damit. Gibt es jedoch irgendwie einen Trick oder ein Verfahren wie man diese Basis der Ebene finden kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Im Allgemeinen müsstest du erstmal eine Basis der Ebene finden.
Dann muss der zweite durch Linearkombination der beiden Basisvektoren senkrecht zu ersten gerechnet werden. Danach folgt dann noch das Normieren.
Hier kannst du jedoch [mm] \vec{n}=\vektor{1\\-2\\5} [/mm] die Senkrechte zur Ebene ablesen.
Nun einen dazu Senkrechten (eine Koord.=0 die anderen beiden vertauschen und eines der Vorzeichen wechseln) [mm] \vec{v_1}=\vektor{ 2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{v_2} [/mm] muss jetzt zu [mm] \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{v_1} [/mm] orthogonal sein. Das bringt uns z.B. das Kreuzprodukt.
[mm] \vec{v_2}=\vec{n}\times\vec{v_1}
[/mm]
Dann sind die Normierten von [mm] \vec{v_1} [/mm] und [mm] \vec{v_2} [/mm] deine Lösung.
Ciao.
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