Basis bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Di 29.03.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Habe die genaue Aufgabenstellung leider nicht mehr... versuchs mal so:
$ [mm] U:=<1+x+x^2, [/mm] 1+x, [mm] x^2> [/mm] $ und $ [mm] W:=
Bestimme eine Basis von $ U [mm] \cap [/mm] W $. |
Hoffe man erkennt was gemeint ist, sollte ich was vergessen haben, einfach drauf hinweisen. :) Bitte um Korrektur.. bin mir noch etwas unsicher hierbei.
Vielen Dank schonmal!
Meine Lösung:
Erstmal die Polynome als Vektoren schreiben, also
[mm] $1+x+x^2$ [/mm] als [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
$1+x$ als [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] $x^2$ [/mm] als [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] usw.
Dann setze ich U und W gleich: $ [mm] \lambda_{1}*\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] = [mm] \mu_{1}*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + [mm] \mu_{2}*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + [mm] \mu_{3}*\pmat{ 1 \\ -1 \\ 0 }. [/mm] $
Damit folgt das Lineare Gleichungssystem:
[mm] \pmat{1&1&0&0&-1&-1 \\ 1&1&0&-1&0&1 \\ 1&0&1&-1&-1&0} \to \pmat{0&0&0&1&-1&-2 \\ 0&1&-1&0&1&1 \\ 1&0&1&-1&-1&0}
[/mm]
Da ich 6 Variablen habe und nur 3 Gleichungen, kann ich mir 3 Variablen frei wählen. Sei also [mm] \mu_{1}=r [/mm] und [mm] \mu_{2}=s. [/mm] Damit folgt aus der ersten Zeile des LGS: [mm] r-s-2\mu_{3}=0 \gdw \mu_{3}=\bruch{r-s}{2}. [/mm] Dann wähle ich noch [mm] \lambda_{3} [/mm] = t und verfahre so weiter...
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda_{1} [/mm] = r+s+t
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] t-s-\bruch{r-s}{2}
[/mm]
[mm] \lambda_{3} [/mm] = t
[mm] \mu_{1} [/mm] = r
[mm] \mu_{2} [/mm] = s
[mm] \mu_{3} [/mm] = [mm] \bruch{r-s}{2}
[/mm]
Jetzt setze z.B. r=1, s=0, t=0 und erhalte [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}x+x^2 [/mm] . Mache ich dasselbe mit s, erhalte ich das gleiche ergebnis, bei t kommt 0 raus. Heisst das die Basis meines Schnittes ist [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}x+x^2 [/mm] ? Ist das ganze soweit richtig??
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Di 29.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nicht alles gelesen, weil es mir zu umständlich scheint.
aber bestimm doch erstmal die Dimension von U und W, dann wirds schon viel einfacher. es sind Unterräume eines 3d VR wenn du ihre dim kennst weisst du welche dim der schnitt höchstens oder mindestens hat.
dann bist du schon fast fertig.
aber dein Ergebnis ist richtig, wenn auch umständlich gefunden.
Gruss leduart
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