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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Hanna82 |
| Aufgabe | | Man bestimme die Basis von [mm] \IQ(i\wurzel[4]{3}) [/mm] |
Hallo,
ich habe da ein kleines Problem bei der oben gestellten Aufgabe. Ich weiß leider nicht wie man die Basis bestimmt.
Wenn die Aufgabe wie folgt wäre:
Man bestimme die Basis von [mm] \IQ(i, \wurzel[4]{3})
[/mm]
Dann wäre die Basis
B:={ 1, [mm] \wurzel[4]{3}, \wurzel[4]{3}^{2}, \wurzel[4]{3}^{3}, [/mm] i, [mm] i*\wurzel[4]{3}, i*\wurzel[4]{3}^{2}, i*\wurzel[4]{3}^{3} [/mm] }
Könnte mir bitte jemand helfen.
Danke!
Hanna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallochen,
> Man bestimme die Basis von [mm]\IQ(i\wurzel[4]{3})[/mm]
> Hallo,
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> ich habe da ein kleines Problem bei der oben gestellten
> Aufgabe. Ich weiß leider nicht wie man die Basis bestimmt.
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> Wenn die Aufgabe wie folgt wäre:
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> Man bestimme die Basis von [mm]\IQ(i, \wurzel[4]{3})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Dann wäre die Basis
>
> B:={ 1, [mm]\wurzel[4]{3}, \wurzel[4]{3}^{2}, \wurzel[4]{3}^{3},[/mm]
> i, [mm]i*\wurzel[4]{3}, i*\wurzel[4]{3}^{2}, i*\wurzel[4]{3}^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
Völlig richtig! Eine Anleitung zum Bestimmen solcher Basen gibt dir der Beweis für die Körpergradformel. Da wird konstruktiv so eine Basis angegeben. Deine Lösung ist aber korrekt, könnte noch etwas begründet werden!
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> Könnte mir bitte jemand helfen.
>
> Danke!
>
> Hanna
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Viele Grüße
Daniel
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| Aufgabe | > Man bestimme die Basis von $ [mm] \IQ(i\wurzel[4]{3}) [/mm] $
> Hallo,
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> ich habe da ein kleines Problem bei der oben gestellten
> Aufgabe. Ich weiß leider nicht wie man die Basis bestimmt. |
Hallo,
wie würde denn die Basis zu $ [mm] \IQ(i\wurzel[4]{3}) [/mm] $ aussehen?
Interessiert mich ja jetzt auch brennend!
Gruß, green-bubble
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Hallo,
man könnte sich z.B. erst mal über den Körpergrad klar werden. Das Minimalpolynom wäre das Produkt aus [mm] (x^{2}+1)*(x^{4}-3). [/mm]
Kommst du jetzt alleine weiter?
VG Daniel
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| Aufgabe | | Minimalpolynom wäre das Produkt aus $ [mm] (x^{2}+1)\cdot{}(x^{4}-3). [/mm] $ |
ok, das wäre [mm] x^{6}+x^{4}-3x^{2}-3.
[/mm]
Hat den Grad=6. Richtig?
Also wäre dann die Basis vielleicht:
1, $ [mm] \(i\wurzel[4]{3}, [/mm] $ [mm] \(i\wurzel[4]{3}^{2},...$ \(i\wurzel[4]{3}^{4} [/mm] $ $ $ ?
Hm, keine Ahnung!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Mo 03.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Minimalpolynom wäre das Produkt aus
> [mm](x^{2}+1)\cdot{}(x^{4}-3).[/mm]
> ok, das wäre [mm]x^{6}+x^{4}-3x^{2}-3.[/mm]
> Hat den Grad=6. Richtig?
Das Polynom hat den Grad 6. ''Das'' Minimalpolynom von $i [mm] \sqrt[4]{3}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] hat jedoch den Grad $4$.
> Also wäre dann die Basis vielleicht:
Meintest du das hier?
> 1, [mm](i\wurzel[4]{3}),[/mm] [mm](i\wurzel[4]{3})^{2},...[/mm]
> [mm](i\wurzel[4]{3})^{4}[/mm]?
Also [mm](i\wurzel[4]{3})^{4} = 3[/mm], womit das sicher keine Basis ist. Aber versuch doch mal [mm](i\wurzel[4]{3})^{3}[/mm]...
Das ganze mal ein wenig allgemeiner:
Wenn du eine Koerpererweiterung [mm] $K[\alpha] [/mm] : K$ hast mit [mm] $\alpha$ [/mm] algebraisch ueber $K$, und wenn $f$ das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $K$ ist, dann ist [mm] $K[\alpha]$ [/mm] isomorph zu $K[x]/(f)$. Und $K[x]/(f)$ hat als $K$-Vektorraum die Dimension [mm] $\deg [/mm] f$ hat die $K$-Basis $1, [mm] \bar{x}, \bar{x}^2, \dots, \bar{x}^{\deg f - 1}$ [/mm] (hier ist [mm] $\bar{x}$ [/mm] die Restklasse von $x$ modulo dem Ideal $(f)$).
Zum $K$-Isomorphismus $K[x]/(f) [mm] \cong K[\alpha]$: [/mm] Dieser wird z.B. durch $x [mm] \mapsto \alpha$ [/mm] gegeben. Damit ist also $1, [mm] \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{\deg f - 1}$ [/mm] eine $K$-Basis von [mm] $K[\alpha]$!
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 03.04.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
ich würde folgende Basis dazu aufstellen.
1, [mm] i\wurzel[4]{3}, i\wurzel[4]{3}^2, i\wurzel[4]{3}^3
[/mm]
Ist das so richtig?
cloe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 03.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich würde folgende Basis dazu aufstellen.
>
> 1, [mm]i\wurzel[4]{3}, i\wurzel[4]{3}^2, i\wurzel[4]{3}^3[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ich denke nicht! Kannst du begruenden, warum [mm] $i\wurzel[4]{3}^2 [/mm] = [mm] i\wurzel[2]{3}$ [/mm] ueberhaupt in [mm] $\IQ(i \sqrt[4]{3})$ [/mm] liegen soll? Das ist fuer mich alles andere als offensichtlich (ich glaub es auch nicht wirklich, ich bin allerdings grad zu faul es nachzupruefen...).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mo 03.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> man könnte sich z.B. erst mal über den Körpergrad klar
> werden. Das Minimalpolynom wäre das Produkt aus
> [mm](x^{2}+1)*(x^{4}-3).[/mm]
Ich weiss ja nicht was du unter Minimalpolynom verstehst, aber normalerweise ist das Minimalpolynom von [mm] $\alpha \in [/mm] L$ ueber einem Unterkoerper $K [mm] \subseteq [/mm] L$ das (eindeutig bestimmte) normierte unzerlegbare Polynom, welches [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle hat.
Und dein Polynom ist ganz bestimmt nicht unzerlegbar 
LG Felix
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Hallo Felix,
ja natürlich, ist mir klar! Vielleicht hätte ich "Minimalpolynom" schreiben sollen! Nen richtigen Namen hat das ja nicht!
VG Daniel
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