Basis Vektorraum Koordinaten < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die Basis eines Vektorraums verstehen sowie den Zusammenhang mit den Koordinaten |
Hallo!
Ich hock gerade an der Basis der Vektorräume.
Soweit verstanden habe ich: Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, mit denen ich alle anderen Vektoren des Vektorraums erzeugen kann.
Ich habe da ein paar Aussagen gelesen, die mich verwirren:
a) Vektoren habe unterschiedliche Koordinaten je nach Basis.
- Das heißt, wenn die Basis { [mm] \vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0} [/mm] } ist, dann hat der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] irgendwelche Koordinaten und wenn ich eine andere Basis nehme, dann hat derselbe Vektor andere Koordinaten.
Ich gelange also zum selben Punkt in der Ebene, muss aber je nach Basis quasi einen anderen Weg gehen, richtig?
b) Was genau ist die Standardbasis? Was genau bedeutet: Die Basisvektoren haben die Koordinaten der Standardbasis?
ich kann ja einen Vektor als Linearkombination der Basis ausdrücken, also z. B. [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] = 3 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm]
+ 2 * [mm] \vektor{0 \\ 1}. [/mm] Da sind doch jetzt 3 und 2 die Koeffizienten der Linearkombination. Sehe ich richtig, dass { [mm] \vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0} [/mm] } in diesem Fall die Standardbasis ist, weil die Koeffizienten genau mit den Koordinaten der Vektoren übereinstimmen?
c) Wieso sind die Koordinaten eines Vektors von der Reihenfolge der Basisvektoren abhängig?
Es ist doch egal, ob ich den Vektor [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] aus 2 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 3 * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] oder aus 3 * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] + 2 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] berechne, oder?
Vielen Dank für Tips und Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Fr 18.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Die Basis eines Vektorraums verstehen sowie den
> Zusammenhang mit den Koordinaten
> Hallo!
>
> Ich hock gerade an der Basis der Vektorräume.
>
> Soweit verstanden habe ich: Eine Basis ist eine Menge
> linear unabhängiger Vektoren, mit denen ich alle anderen
> Vektoren des Vektorraums erzeugen kann.
>
> Ich habe da ein paar Aussagen gelesen, die mich verwirren:
>
> a) Vektoren habe unterschiedliche Koordinaten je nach
> Basis.
>
> - Das heißt, wenn die Basis { [mm]\vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } ist, dann hat der Vektor [mm]\vec{a}[/mm] irgendwelche Koordinaten
> und wenn ich eine andere Basis nehme, dann hat derselbe
> Vektor andere Koordinaten.
So ist es. Deswegen sollte man genauer von Koordinaten bezügl. der gegebenen Basis reden.
>
> Ich gelange also zum selben Punkt in der Ebene, muss aber
> je nach Basis quasi einen anderen Weg gehen, richtig?
Ja, so kann man das sehen.
>
> b) Was genau ist die Standardbasis?
Im [mm] \IR^n [/mm] ist das diese Basis:
[mm] \{(1,0,0,...,0)^T, (0,1,0,...,0)^T,....,(0,...,0,1)^T\}
[/mm]
> Was genau bedeutet: Die
> Basisvektoren haben die Koordinaten der Standardbasis?
Ist z.B. [mm] $B=\{b_1,b>_2,b_3\}$ [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] und $x [mm] \in \IR^3$, [/mm] so gibt es eindeutig bestimmte [mm] t_1,t_2,t_3 \in \IR^3 [/mm] mit
[mm] $x=t_1*b_1+t_2*b_2+t_3*b_3$.
[/mm]
Dann sind [mm] t_1,t_2,t_3 [/mm] die koordinaten von x bezgl. der Basis B.
Ist [mm] x=b_1, [/mm] so ist [mm] t_1=1, t_2=0 [/mm] und [mm] t_3=0. [/mm]
Fällt Dir was auf ?
>
> ich kann ja einen Vektor als Linearkombination der Basis
> ausdrücken, also z. B. [mm]\vektor{3 \\ 2}[/mm] = 3 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> + 2 * [mm]\vektor{0 \\ 1}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Da sind doch jetzt 3 und 2 die
> Koeffizienten der Linearkombination. Sehe ich richtig, dass
> { [mm]\vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} in diesem Fall die
> Standardbasis ist, weil die Koeffizienten genau mit den
> Koordinaten der Vektoren übereinstimmen?
Ja
>
> c) Wieso sind die Koordinaten eines Vektors von der
> Reihenfolge der Basisvektoren abhängig?
>
> Es ist doch egal, ob ich den Vektor [mm]\vektor{2 \\ 3}[/mm] aus 2 *
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 * [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] oder aus 3 *
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] + 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] berechne, oder?
Setzen wir
[mm] B_1=\{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}\}
[/mm]
und
[mm] B_2=\{\vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0}\}.
[/mm]
[mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] sind Basen des [mm] \IR^2. [/mm] (Als Mengen stimmen [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] überein)
Die Koordinaten von [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] bezüglich [mm] B_1 [/mm] sind 2 und 3.
Die Koordinaten von [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] bezüglich [mm] B_2 [/mm] sind 3 und 2.
FRED
>
> Vielen Dank für Tips und Hilfe!
>
|
|
|
| |
|
Das Ganze ist deshalb so verwirrend, weil man i.a. die Standardbasis verwendet, in der Punktkoordinaten und "Basis-Koordinaten" übereinstimmen. Ich trenne das mal hier durch die Schreibweise auf:
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] soll ein Vektor sein, der vom Ursprung zum Punkt P(x|x) führt (i.a. in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, aber selbst das muss nicht sein).
Dann ist [mm] \vec{e_1}=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e_2}=\vektor{0 \\ 1}, [/mm] woran man schon erkennt, dass es eigentlich völlig unsinnig ist, die Basis als Menge anzugeben, denn bei der folgenden Koordinatenbeschreibung kommt es sehr wohl auf die Reihenfolge der Basiselemente an, bei einer Menge aber nicht.
Daraus wird nun [ [mm] {x}\atop{y} [/mm] ] = [mm] x*\vec{e_1}+y*\vec{e_2}=x*\vektor{1 \\ 0}+y*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{x \\ y}. [/mm] Ich habe für die Vektoren der Basis-Koordinaten-Darstellung mal eckige Klammern gewählt.
Jetzt Basiswechsel: [mm] \vec{e_1}=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e_2}=\vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
Nun gilt: [mm] \vektor{x \\ y}= y*\vektor{1 \\ 1}+(x-y)*\vektor{1 \\ 0} [/mm] = [ [mm] {x-y}\atop{y} [/mm] ].
Um Zum Punkt (x|y) zu gelangen, musst du bei der Standardbasis x-mal den ersten und y-mal den zweiten, bei der neuen Basis aber (x-y)-mal den ersten und y-mal den zweiten Basisvektor addieren. Der Vektor in den Eckigen Klammern gibt die also "neue Koordinaten" an, die sich nicht auf die karthesischen Koordinaten im Raum beziehen, sondern dir sagen, wie weit du in [mm] \vec{e_1}- [/mm] und in [mm] \vec{e_2}-Richtung [/mm] gehen musst, um zu einem Punkt zu gelangen.
Ich hoffe, es verwirrt dich nicht, wenn ich jetzt noch schreibe:
[ [mm] {1}\atop{0} [/mm] ] = [mm] \vektor{1 \\ 0}, [/mm] aber [ [mm] {0}\atop{1} [/mm] ] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm]
Wenn man in einer Aufgabe verschiedene Basen benutzt, ist es verwirrend, wenn überall runde Klammern gesetzt werden und man dadurch nie weiß, was genau gemeint ist...
|
|
|
|
