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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:16 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Maja83 |
| Aufgabe | Sei d [mm] \in \IN_{0} [/mm] und V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller Polynome in [mm] \IR[x] [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] d.
Zeigen Sie: Polynome [mm] f_{i} \in \IR[x] [/mm] \ {0} so sind, dass grad( [mm] f_{i}) [/mm] = i für alle 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] d gilt, so sind [mm] f_{0},...,f_{d} [/mm] eine Basis von V. |
Hallo!
Könnt ihr mir bei diesem Beweis helfen? Das wäre super!
Lieben Dank,
Maja
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> Sei d [mm]\in \IN_{0}[/mm] und V der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] aller Polynome
> in [mm]\IR[x][/mm] vom Grad [mm]\le[/mm] d.
> Zeigen Sie: Polynome [mm]f_{i} \in \IR[x][/mm] \ {0} so sind, dass
> grad( [mm]f_{i})[/mm] = i für alle 0 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] d gilt, so sind
> [mm]f_{0},...,f_{d}[/mm] eine Basis von V.
> Hallo!
>
> Könnt ihr mir bei diesem Beweis helfen? Das wäre super!
Hallo,
da wäre es hilfreich, hättest Du verraten, an welcher Stelle Du hilfsbedürftig bist...
Wie weit sind Deine Überlegungen denn gediehen?
Kennst Du eine Basis des Vektorraumes V?
Zeigen sollst Du folgendes:
wenn
[mm] f_0 [/mm] irgendein Polynom v. Grad 0 ist,
[mm] f_1 [/mm] irgendein Polynom v. Grad 1 ist,
[mm] f_2 [/mm] irgendein Polynom v. Grad 2ist,
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_d [/mm] irgendein Polynom v. Grad d ist,
so ist [mm] (f_1, [/mm] ..., [mm] f_d) [/mm] eine Basis von V.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:37 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hallo!
Ich habe das jetzt mal so gemacht:
Der Vektorraum V hat die Dimension dim(V) [mm] \le [/mm] d+1, da die Polynome [mm] g_{k} [/mm] (x) = [mm] x^{k}, [/mm] k=0...d ein Erzeugendensystem bilden; Jedes Polynom p lässt sich darstellen als p = [mm] \summe_{k=0}^{d}(a_{k} [/mm] * [mm] x^{k}).
[/mm]
Wenn nun [mm] f_{i} [/mm] als linear unabhängig nachgewiesen werden können, dann folgt dim(V) [mm] \ge [/mm] d+1, also insgesamt dim(V) = d+1. Die [mm] f_{i} [/mm] wären dann sogar als Basis nachgewiesen, da ihre Anzahl mit dim(V) übereinstimmt.
Sei also
[mm] \summe_{k=0}^{d}(b_{k} [/mm] * [mm] f_{k}) [/mm] = 0 (Gleichung *)
eine beliebige Linearkombination der [mm] f_{k}, [/mm] die das Nullpolynom ergibt. Bilde nun für j=0...d die j-Ableitung der Linearkombination, wobei für j=0 nichts zu tun ist. Dann erhält man auf der linken Seite von (*) Polynome
[mm] p_{j} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{d}(b_{k}* d^{j(f_k)}/dx^{j}).
[/mm]
Es gilt [mm] p_{j}(0) [/mm] = [mm] b_{j} [/mm] * [mm] l_{j} [/mm] * j! für alle j=0...d, wobei [mm] l_{j} [/mm] ungleich 0 der Leitkoeffizient von [mm] f_{j} [/mm] ist.
Begründung: Ist j = d, dann verschwinden die Ableitungen [mm] d^{j(f_k)}/dx^{j} [/mm] für alle k < j, da [mm] grad(f_{k}) [/mm] = k < j. Es gilt für [mm] f_{j} [/mm] = [mm] f_{d}
[/mm]
[mm] d^{j(f_j)}/dx^{j} [/mm] = [mm] l_{j} [/mm] * j! (konstantes Polynom)
und damit [mm] \summe{k=0}^{d}(b_{k} [/mm] * [mm] d^{j(f_k)}/dx^{j}) [/mm] = [mm] b_{j} [/mm] * [mm] l_{j} [/mm] * j!. Da andererseits [mm] p_{j} [/mm] die j-te Ableitung des Nullpolynoms ist, ist [mm] p_{j(0)} [/mm] = 0 und wegen [mm] l_{j} [/mm] und j! ungleich 0, muss [mm] b_{j} [/mm] = 0 sein. Der Summand mit dem höchsten Grad verschwindet also. Dann kann man die Summe von 0 bis d-1 laufen lassen, ohne etwas zu verändern.
Für j = d-1 verschwinden die Ableitungen [mm] d^{j(f_k)}/dx^{j} [/mm] wiederum für alle k < j; es gilt wieder für [mm] f_{j} [/mm] = [mm] f_{(d-1)}
[/mm]
[mm] d^{j(f_j)}/dx^{j} [/mm] = [mm] l_{j} [/mm] * j!
und damit wieder [mm] \summe_{k=0}^{d-1}(b_k [/mm] * [mm] d^{j(f_k)}/dx^{j}) [/mm] = [mm] b_{j} [/mm] * [mm] l_{j} [/mm] * j!
Wie oben folgt nun, dass [mm] b_{d-1} [/mm] ebenfalls 0 sein muss. Es müssen nur noch die Summe d-2 betrachten werden. Nach endlich vielen Schritten ergibt sich, dass alle [mm] b_{j} [/mm] j=0...d gleich 0 sein müssen, wodurch gezeigt ist, dass die [mm] f_{j} [/mm] linear unabhängig und somit eine Basis von V sind.
Stimmt das so?
Danke für eure Hilfe,
Maja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Sa 12.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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