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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mi 23.01.2008 | | Autor: | DaReava |
| Aufgabe | | Bestimme eine Basis des reellen Vektorraums $ [mm] Sym^2(\IR^4) [/mm] $ der symmetrischen 2-Formen auf $ [mm] \IR^4 [/mm] $ . |
n'Abend miteinander!
Jetzt habe ich mir schon einige Zeit lang Gedanken über die obige Aufgabe gemacht, jedoch komme ich zu keinem brauchbaren Ergebnis.
(Ich habe so etwas noch nie berechnet und kann mir auch irgendwie beim besten willen nicht vorstellen, wie das zu guter letzt aussehen soll...)
Soweit bin ich bis jetzt gekommen:
ich wähle $ [mm] b_1,b_2,b_3,b_4 [/mm] $ als kanonische Basis von $ [mm] \IR^4 [/mm] $
dann wähle ich [mm] \begin{pmatrix} b_1' & b_2' & b_3' & b_4' \end{pmatrix} [/mm] als duale Basis $ [mm] \IR^4' [/mm] $
Jetzt müsste man irgendwie konkret die symmetrischen [mm] b_1' \wedge b_2' [/mm] heraussuchen oder wie??
ab hier wird mir das ganze nicht mehr nachvollziehbar...
Alternativ dazu hatte ich den Ansatz verfolgt, die Elemente aus [mm] Sym^2(\IR^4) [/mm] als $ 4 [mm] \times [/mm] 4 - $ Matrizen darzustellen.
in der Form
[mm] v,w \in \IR^4 , A \in Mat_{sym}(n,n;\IR^4)
v^{T} A w = x\in \IR [/mm]
-- aber ist - bzw inwieweit ist dieser Ansatz sinnvoll bzw durchführbar?
Über jegliche Aufklärung darüber wäre ich sehr erfreut.
LG reava
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> Bestimme eine Basis des reellen Vektorraums [mm]Sym^2(\IR^4)[/mm]
> der symmetrischen 2-Formen auf [mm]\IR^4[/mm] .
> Alternativ dazu hatte ich den Ansatz verfolgt, die Elemente
> aus [mm]Sym^2(\IR^4)[/mm] als [mm]4 \times 4 -[/mm] Matrizen darzustellen.
> in der Form
> [mm]v,w \in \IR^4 , A \in Mat_{sym}(n,n;\IR^4)
> v^{T} A w = x\in \IR[/mm]
Hallo,
das wäre der Weg, den ich verfolgen würde.
Stell' für eine beliebige symmetrische Bilinearform auf [mm] \IR^4 [/mm] x [mm] \IR^4 [/mm] die darstellende Matrix auf. Sie hat eine bestimmte Eigenschaft, aus welcher Du die Dimension des gesuchten Raumes erfahren kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 24.01.2008 | | Autor: | DaReava |
Hallo!
Die Dimension ist mir klar (über den 1. Weg), denn es muss sich ja immer um
Paare der Form $ [mm] e_i' \wedge e_j' [/mm] $ handeln, mit $ i [mm] \not= [/mm] j $ ,
deren es $ 4+3+2+1 = 10 $ Stück gibt.
Mich würde eher interressieren, wie ein solches Glied der Basis dann konkret aussieht...?
-> Ach ja, an welcher Eigenschaft der Basis würde ich das erkennen?
ein Beispiel $ Mat [mm] \in Sym^2(\IR^4) [/mm] $ wäre doch etwa
[mm] a = \pmat{ 1 & 0 & 0 & {-1} \\ 0 & 1 & {-1} & 0 \\ 0 & {-1} & 1 & 0 \\ {-1} & 0 & 0 & 1 } [/mm]
Was erkenne ich hier nicht, könnte mir da bitte jemand auf die Sprümge helfen?
lg reava
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> Mich würde eher interressieren, wie ein solches Glied der
> Basis dann konkret aussieht...?
>
> -> Ach ja, an welcher Eigenschaft der Basis würde ich das
> erkennen?
> ein Beispiel [mm]Mat \in Sym^2(\IR^4)[/mm] wäre doch etwa
>
> [mm]a = \pmat{ 1 & 0 & 0 & {-1} \\ 0 & 1 & {-1} & 0 \\ 0 & {-1} & 1 & 0 \\ {-1} & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Was erkenne ich hier nicht, könnte mir da bitte jemand auf
> die Sprümge helfen?
Hallo,
die Matrix ist symmetrisch, und jede der Matrizen, die Du erhältst, wird symmetrisch sein,
also diese Gestalt haben:
[mm] \pmat{ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_2 & a_5 & a_6 & a_7 \\ a_3 & a_6 &a_8 & a_9 \\ a_4 & a_7& a_9& a_{10} },
[/mm]
also darzustellen sein als [mm] ...=a_1(...)+ a_2(...)+ [/mm] ... [mm] a_{10}(...).
[/mm]
Die Matrizen hinter den Koeffizienten sind eine Basis, und Du brauchst Dir dann ja nur noch klarzumachen, welche Bilinearform sie jeweils beschreiben.
Gruß v. Angela
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