Basis Schnitt Summe < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe eine Aufgabe mit der ich nicht klar komme.
Also Sie lautet:
Seien U=< ( -1,1,-1,1),(3,1,3,1),(3,-1,3,-1)> [mm] \subseteq \IR^4,
[/mm]
V=<(4,7,7,4),(2,-7,-7,2), (1,-3,-3,1)> [mm] \subseteq \IR^4,
[/mm]
W=<(1,1,1,1),(4,2,4,2),(3,4,4,3)> [mm] \subseteq \IR^4 [/mm] und
X=<(1,1,1,1)> [mm] \subseteq \IR^4
[/mm]
a) Bestimmen Sie eine Basis von U
b) Bestimmen Sie eine Basis von V
c) Zeigen Sie, dass U+V=W ist.
d) Zeigen Sie, dass U [mm] \cap [/mm] V = X ist.
Also bei a) habe ich als Basis [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1} [/mm] und
[mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Bei b) habe ich als Basis [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4} [/mm] und
[mm] \vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1} [/mm]
Stimmt das bis hier hin?
Bei c und d weiß ich garnicht was ich tun soll.
Brauche dort eure Hilfe.
Gruß
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich habe eine Aufgabe mit der ich nicht klar komme.
> Also Sie lautet:
> Seien U=< ( -1,1,-1,1),(3,1,3,1),(3,-1,3,-1)> [mm]\subseteq \IR^4,[/mm]
>
> V=<(4,7,7,4),(2,-7,-7,2), (1,-3,-3,1)> [mm]\subseteq \IR^4,[/mm]
>
> W=<(1,1,1,1),(4,2,4,2),(3,4,4,3)> [mm]\subseteq \IR^4[/mm] und
> X=<(1,1,1,1)> [mm]\subseteq \IR^4[/mm]
> a) Bestimmen Sie eine Basis
> von U
> b) Bestimmen Sie eine Basis von V
> c) Zeigen Sie, dass U+V=W ist.
> d) Zeigen Sie, dass U [mm]\cap[/mm] V = X ist.
>
> Also bei a) habe ich als Basis [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> und
> [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
stimmt
> Bei b) habe ich als Basis
> [mm]\vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4}[/mm] und
> [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1}[/mm]
> Stimmt das bis hier hin?
jupp
> Bei c und d weiß ich garnicht was ich tun soll.
> Brauche dort eure Hilfe.
>
Zu c):
Du weißt, dass die Vektorräume eigendlich nur Mengen von Vektoren sind.
Wie beweist man, dass zwei Mengen gleich sind?
Zu d):
gleiches Spiel, U,V,W sind Mengen, also ganz klassischer Beweis für Mengengleichheit.
> Gruß
MfG
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Dankeschön.
Wenn man zeigen will, dass zwei mengen gleich sind, zeigt man dass die eine menge in der anderen ist und andersrum.
Ist es jetzt hier drauf übertragen so, dass sich w von u und v linearkombinieren lässt also
-1a + 3b + 4c + 1d = 1
1a + 1b + 7c - 3d = 1
-1a + 3b + 7c - 3d = 1
1a + 1b + 4 + 1d = 1
Und das jetzt analog noch mit den anderen Vektoren von W.
Stimmt das?
Und bei d) für x das selbe? Das kann nicht stimmen oder, sonst würde ich ja zweimal dieses Gls lösen:
-1a + 3b + 4c + 1d = 1
1a + 1b + 7c - 3d = 1
-1a + 3b + 7c - 3d = 1
1a + 1b + 4 + 1d = 1
Gruß
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Das zu c) stimmt so, du musst nur beide Richtungen machen.
Also so wie du das da jetzt gesagt hast zeigst du, dass $W [mm] \subseteq [/mm] U+V$, du musst halt noch die andere Inklusion zeigen.
Bei d) musst du den Schnitt zeigen.
Was muss denn ein x erfüllen, um im Schnitt von U und V zu liegen (wenn du U und V wiederrum als Mengen ansiehst)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Hallo,
mit der anderen Inklusion meinst du, dass dann so rum oder:
a+4b+3c=-1
a+2b+4c=1
a+4b+4c=-1
a+2b+3c=1
Das x müsste dann in beiden Mengen sein. Aber ich verstehe nicht wie ich das auf diese Aufgabe übertragen kann.
Gruß
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Andere Inklusion:
jupp
X:
$U [mm] \cap [/mm] V [mm] \supseteq [/mm] X$ musst du doch einfach für zeigen, dass $U [mm] \supseteq [/mm] X$ und $V [mm] \supseteq [/mm] X$.
$U [mm] \cap [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] X$ ist ein ganz klein bisschen kniffliger, da musst du ein wenig überlegen. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Tut mir Leid, ich kanns nicht. Um zu zeigen, dass X in U oder V ist, müsste ich doch erst die Basis von U als Linearkombination schreiben und dann V.
Also
-a+3b=1
a+b=1
-a+3b=1
a+b=1
Analog mit V
Aber das sieht irgendwie falsch aus.
Gruß
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Versuch es mit der Basis.
Es ist ja $U [mm] \cap [/mm] V$ auch ein Vektorraum, also guck mal ob du eine Basis von $U [mm] \cap [/mm] V$ ermitteln kannst.
Wenn du die hast ist der Rest nicht mehr sooo schwer.^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Ich versuche die ganze zeit eine basis davon zu bestimmen, dafür brauche ich ja den kern davon. Aber ich bekomme irgendwie keinen raus.
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> Ich versuche die ganze zeit eine basis davon zu bestimmen,
> dafür brauche ich ja den kern davon. Aber ich bekomme
> irgendwie keinen raus.
Hallo,
wenn man sehen würde, was Du versuchst, dann wäre das Antworten einfacher, und auch, wenn man die entscheidenden Fakten auf einen Blick vor Augen hätte.
Ich reime mir mal zusammen, daß es darum geht zu zeigen, daß
U $ [mm] \cap [/mm] $ V = X
richtig ist mit
U:=< [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1},\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1} [/mm] >,
[mm] V:=<\vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4}, \vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1} [/mm] >,
[mm] X:=<\vektor{1\\1\\1\\1}>.
[/mm]
Du kannst dies am besten tun, indem Du eine Basis von [mm] U\cap [/mm] V bestimmst.
Welche Vektoren sind in [mm] U\cap [/mm] V? Alle Vektoren x, die gleichzeitig in U und V sind, also die x, für welche es a,b,c,d gibt mit
[mm] x=a\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}+b\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}=c\vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4}+d\vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1}.
[/mm]
==>
[mm] a\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}+b\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}+c\vektor{-4 \\ -7 \\- 7 \\ -4}+d\vektor{-1 \\ 3 \\ 3 \\ -1}=\vektor{0\\0\\0\\0}.
[/mm]
Nun stell erstmal die Koeffizientenmatrix dieses LGS auf, bring sie in Zeilenstufenform.
Beim Ablesen des Kerns kann man Dir dann helfen - und vor allem anschließend bei der Interpretation.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 17.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Hallo, danke dir auch für deine Hilfe.
Also ich habs jetzt so gelöst:
[mm] \pmat{ -1 & 3 & -4 & 1 \\ 1 & 1 & -7 & -3 \\ -1 & 3 & -7 & -3 \\ 1 & 1 & -4 & 1}
[/mm]
Zeilenumformung
Hab jetzt die zweite zeile zur ersten gemacht und mit den restlichen dann diese entweder addiert oder subtrahiert, damit ich in der ersten Spalte überall bis auf die erste stelle null habe.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -7 & -3 \\ 0 & 4 & -11 & -2 \\ 0 & 4 & -14 & -6 \\ 0 & 0 & -3 & -4}
[/mm]
Dann habe ich die zweite und dritte zeile subtrahiert.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -7 & -3 \\ 0 & 4 & -14 & -6 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & -4}
[/mm]
Dann die letzten beiden subtahiert
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -7 & -3 \\ 0 & 4 & -14 & -6 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
Jetzt habe ich für d=1 genommen und dies alles aufgelöst und bekomme für die anderen raus
a= [mm] \bruch{-19}{6} b=\bruch{-19}{6} [/mm] c= [mm] \bruch{-4}{3} [/mm] ja und d=1
Soweit alles ok?
Ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich das interpretieren soll.
Gruß
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Richtig gerechnet, aber leider falsch abgeschrieben...
(edit: da red ich groß und mach es selbst falsch -.-
jetzt stimmts aber; hoffentlich *g*)
[mm] $\begin{pmatrix} -1 & 3 & -4 & -1 \\ 1 & 1 & -7 & 3 \\ -1 & 3 & -7 & 3 \\ 1 & 1 & -4 & -1\end{pmatrix}$
[/mm]
So müsste die Matrix aussehen...
Also das - muss vor der 1 stehen, nicht vor der 3.
(ich würds ja rot machen, aber das klappt irgendwie grad nicht -.-)
> Jetzt habe ich für d=1 genommen und dies alles aufgelöst
> und bekomme für die anderen raus
> a= [mm]\bruch{-19}{6} b=\bruch{-19}{6}[/mm] c= [mm]\bruch{-4}{3}[/mm]
> ja und d=1
>
> Soweit alles ok?
> Ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich das interpretieren
> soll.
Nun, du interpretierst das genauso wie die berechneten Basen in den anderen Aufgabenteilen:
$U [mm] \cap [/mm] V = [mm] <\vektor{19 \\ 19 \\ 8 \\ -6} [/mm] >$
Also das was du da hast ist jetzt eine Basis von $U [mm] \cap [/mm] V$ (ich hab einfach mit -6 multipliziert, damit es etwas hübscher wird).
Genauso wie oben: Die Variable, die man frei wählen kann, auf 1 setzen (das hast du ja schon gemacht) und die anderen entsprechend angleichen.
Also jetzt rechne das ganze nochmal mit der richtigen Matrix durch und wenn du dann eine Basis von $U [mm] \cap [/mm] V$ hast vergleiche sie mit der Basis von X. ;)
> Gruß
MfG
Schadowmaster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 17.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Soll ich das jetzt mit der Matric ausrechnen die du aufgeschrieben hast oder Angela? Weil ihr beiden in der letzten spalte auch unterschiedliche Vorzeichen habt.
Danke dir für deine Geduld.
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edit:
Hmm, mit angelas Version kommt aber das gleiche raus wie bei deiner Rechnung, und dann wäre $U [mm] \cap [/mm] V [mm] \not= [/mm] X$, womit du deinen Beweis nicht erbringen könntest...
also einen kleinen Moment Geduld, ich guck mal wo der Wurm steckt.^^
oder steht in der Aufgabenstellung "beweisen oder widerlegen Sie" ?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:38 So 17.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Also da steht nur:
Zeigen sie, dass [mm] U\capV=X [/mm] ist. Also nichts mit wiederlegen.
Ich habs auch ausgerechnet und bekomme auch wieder das gleiche raus.
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> > > $ [mm] x=a\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}+b\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}=c\vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4}+d\vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1} [/mm] $
> > > Welche Vektoren sind in $ [mm] U\cap [/mm] $ V? Alle Vektoren x, die gleichzeitig in U und V sind, also die x, für welche es a,b,c,d gibt mit
$ [mm] x=a\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}+b\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}=c\vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4}+d\vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1}. [/mm] $
==> $ [mm] a\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}+b\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}+c\vektor{-4 \\ -7 \\- 7 \\ -4}+d\vektor{-1 \\ 3 \\ 3 \\ -1}=\vektor{0\\0\\0\\0}. [/mm] $
> Hallo, danke dir auch für deine Hilfe.
> Also ich habs jetzt so gelöst:
> [mm]\pmat{ -1 & 3 & -4 & 1 \\
1 & 1 & -7 & -3 \\
-1 & 3 & -7 & -3 \\
1 & 1 & -4 & 1}[/mm]
Hallo,
diese Matrix stimmt ja nicht mit meiner obenstehenden Gleichung überein.
Die Vorzeichen in der letzen Spalte sind verkehrt.
Ich löse das jetzt mal elegant, indem ich kurzerhand sage:
[mm] V=<\vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4},\vektor{\red{-}1 \\ \red{+}3 \\ \red{+}3 \\ \red{-}1}>.
[/mm]
Das stimmt ja auch.
Damit lautet die Gleichung dann $ [mm] a\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}+b\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}+c\vektor{-4 \\ -7 \\- 7 \\ -4}+d\vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1}=\vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] $,
und so paßt sie hervorragend zu Deiner Matrix und dem, was dann kommt.
>
> Zeilenumformung
> Hab jetzt die zweite zeile zur ersten gemacht und mit den
> restlichen dann diese entweder addiert oder subtrahiert,
> damit ich in der ersten Spalte überall bis auf die erste
> stelle null habe.
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -7 & -3 \\
0 & 4 & -11 & -2 \\
0 & 4 & -14 & -6 \\
0 & 0 & -3 & -4}[/mm]
>
> Dann habe ich die zweite und dritte zeile subtrahiert.
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -7 & -3 \\
0 & 4 & -14 & -6 \\
0 & 0 & -3 & -4 \\
0 & 0 & -3 & -4}[/mm]
>
> Dann die letzten beiden subtahiert
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -7 & -3 \\
0 & 4 & -14 & -6 \\
0 & 0 & -3 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> Jetzt habe ich für d=1 genommen und dies alles aufgelöst
> und bekomme für die anderen raus
> a= [mm]\bruch{-19}{6} b=\bruch{-19}{6}[/mm] c= [mm]\bruch{-4}{3}[/mm]
> ja und d=1
>
> Soweit alles ok?
> Ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich das interpretieren
> soll.
Hallo,
Deiner ZSF können wir entnehmen, daß die Variable d frei gewählt werden kann.
Aus der Matrix ergibt sich dann
[mm] c=\bruch{-4}{3}d
[/mm]
[mm] b=\bruch{-19}{6}d
[/mm]
[mm] a=\bruch{-19}{6}d.
[/mm]
Somit wissen wir, daß die a,b,c,d der Bauart
[mm] \vektor{a\\b\\c\\d}=\vektor{\bruch{-19}{6}d\\\bruch{-19}{6}d\\\red{\bruch{-4}{3}d}\\\red{d}} [/mm] das fragliche Gleichungssystem lösen.
Achtung: es ist [mm] \vektor{\bruch{-19}{6}\\\bruch{-19}{6}\\\bruch{-4}{3}\\1} [/mm] bzw. [mm] \vektor{-19\\-19\\-8\\6} [/mm] eine Basis des Kerns des Gleichungssystems, aber mitnichten eine Basis des Schnittes von U und V!
Diese bestimmen wir nun.
das Rotmarkierte sagt uns: wenn wir c und d so wählen, daß c das [mm] \bruch{-4}{3}-fache [/mm] von d ist, dann liegen die Vektoren x der Bauart
[mm] x=\bruch{-4d}{3}*\vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4}+d\vektor{-1 \\ 3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
[mm] =d*\vektor{-19/3\\-19/3\\-19/3\\-19/3}=d'*\vektor{1\\1\\1\\1}
[/mm]
im Schnitt von U und V, und damit kennst Du eine Basis von [mm] U\cap [/mm] V.
Gruß v. Angela
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> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 So 17.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Danke euch beiden nochmal. Ihr habt mir richtig gut geholfen.
Gruß
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