Basis, Linear unabh. und EZS < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Di 25.09.2007 | | Autor: | csxx |
| Aufgabe | Es sei (v1,v2,v3,v4) eine Basis eines Vektorraums V.
Dann ist (v1+v2+v3+v4, v1+v2,v3+v4,v2+v3)
Eine Basis von V? ja/nein
Linear unabhängig? ja/nein
Ein Erzeugendensystem von V? ja/nein
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Hi,
Ich lerne im Moment auf eine Prüfung und sehe mir ein paar gegebene Fragen an, bei dieser Frage habe ich aber Interpretationsprobleme.
Ich weiss zwar was ein EZS, Basis und Lineare Unabhängigkeit ist, verstehe aber die Angabe hier nicht ganz wenn ich sie zB mit linearer unabhängigkeit bei Wikipedia vergleiche.
Sind damit Vektoren wie v1=(1,0,0,0) gemeint und v1+v2=(1,1,0,0) ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 25.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Es sei (v1,v2,v3,v4) eine Basis eines Vektorraums V.
> ... habe ich ...
> Interpretationsprobleme.
> Ich weiss zwar was ein EZS, Basis und Lineare
> Unabhängigkeit ist.
> Sind damit Vektoren wie v1=(1,0,0,0) gemeint und
> v1+v2=(1,1,0,0) ?
Das ist so gemeint: Vier beliebige Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] bilden eine Basis [mm] B:=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} [/mm] von V. Vorsicht, es sind nicht explizit die Einheitsvektoren gemeint - sondern die Aussage wird verallgemeinert.
Jetzt sollst du prüfen (beweisen), ob
[mm] C:=\{v_1+v_2+v_3+v_4\red{,} v_1+v_2\red{,} v_3+v_4\red{,} v_2+v_3\}
[/mm]
die folgenden Eigenschaften hat:
Eine Basis von V?
Linear unabhängig?
Ein Erzeugendensystem von V?
Ein Beispiel:
[mm] C:=\{v_1+v_2+v_3+v_4\red{,} v_1+v_2\red{,} \green{v_3+v_4}\red{,} \green{v_2+v_3}\}
[/mm]
Wir wollen zeigen, [mm] \green{v_3+v_4} [/mm] und [mm] \green{v_2+v_3} [/mm] sind linear unabhängig!
Wir wissen - nach Voraussetzung - [mm] v_4 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind linear unabhängig, also sind auch [mm] \{\green{v_3+v_4}\} [/mm] und [mm] \{\green{v_3+v_2}\} [/mm] linear unabhängig.
Nur damit du siehst, wie du vorgehen kannst.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Di 25.09.2007 | | Autor: | csxx |
Das verstehe ich zwar, aber ich weiss trotzdem noch nicht wie ich da dann weitermachen soll, zB mit (v1,v2) und (v3,v4) oder wenn (v1,v2,v3,v4) dazukommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 25.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Das verstehe ich zwar, aber ich weiss trotzdem noch nicht
> wie ich da dann weitermachen soll, zB mit (v1,v2) und
> (v3,v4) oder wenn (v1,v2,v3,v4) dazukommt.
Bis jetzt:
$ [mm] C:=\{v_1+v_2+v_3+v_4\red{,} v_1+v_2\red{,} \green{v_3+v_4}\red{,} \green{v_2+v_3}\} [/mm] $
Wir wollen zeigen, $ [mm] \green{v_3+v_4} [/mm] $ und $ [mm] \green{v_2+v_3} [/mm] $ sind linear unabhängig!
Wir wissen - nach Voraussetzung - $ [mm] v_4 [/mm] $ und $ [mm] v_2 [/mm] $ sind linear unabhängig, also sind auch $ [mm] \{\green{v_3+v_4}\} [/mm] $ und $ [mm] \{\green{v_3+v_2}\} [/mm] $ linear unabhängig.
Kommt [mm] \{v_1+v_2\} [/mm] hinzu:
Wir wissen, wieder nach Voraussetzung, [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sind linear unabhängig. Also sind auch [mm] \{\green{v_1+v_2}\} [/mm] und [mm] \{\green{v_3+v_2}\} [/mm] linear unabhängig.
[mm] \{\green{v_1+v_2}\} [/mm] und [mm] \{\green{v_3+v_4}\} [/mm] sind ebenfalls linear unabhängig, da [mm] v_1 [/mm] linear unabhängi zu [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4, v_2 [/mm] linear unabhängig zu [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4. [/mm] Daraus ergibt sich die lineare Unabhängigkeit von [mm] \{\green{v_1+v_2}\} [/mm] und [mm] \{\green{v_3+v_4}\}.
[/mm]
[mm] \{\green{v_1+v_2+v_3+v_4}\} [/mm] ist nicht linear unabhängig, weil:
[mm] \{\green{v_1+v_2+v_3+v_4}\}=1*\{\green{v_1+v_2}\}+1*\{\green{v_3+v_4}\}
[/mm]
Ich hoffe, ich habe bei den ganzen Indizes keine Fehler gemacht. 
Ich denke, jetzt kommst du weiter!
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 25.09.2007 | | Autor: | csxx |
Ah, Okay jetzt hab ichs kapiert. Ist ja doch nicht so kompliziert, da bin ich wohl ein wenig auf der Leitung gestanden :)
Wenn ich soweit bin, wie überprüf ich jetzt am besten ob es ein Erzeugendensystem ist? Ich habe das irgendwie intuitiv verstanden, mir fehlt aber ein Schema dazu..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Di 25.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Wenn ich soweit bin, wie überprüf ich jetzt am besten ob es
> ein Erzeugendensystem ist? Ich habe das irgendwie intuitiv
> verstanden, mir fehlt aber ein Schema dazu..
du musst dir bewusst machen, was ein Erzeugendensystem ausmacht.
Erzeugendensystem eines Vektorraumes:
Die Vektoren [mm] v_1,v_2,...,v_n\in{V} [/mm] nennt man Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor aus V
als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt werden kann.
Wenn $ [mm] B:=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} [/mm] $ Basis von V ist, kann dann
[mm] C:=\{v_1+v_2+v_3+v_4\red{,} v_1+v_2\red{,} v_3+v_4\red{,} v_2+v_3\} [/mm]
ein Erzeugendensystem von V sein, wenn ein Vektor [mm] \{v_1+v_2+v_3+v_4\} [/mm] schon linear abhängig ist.
C besteht aus 3 linear unabhängige Vektoren, Basis B von V besteht jedoch aus vier linear unabhängigen Vektoren, also kann man mit C auch nicht jeden Vektor [mm] v\in{V} [/mm] darstellen.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Di 25.09.2007 | | Autor: | csxx |
Super, ist ja doch so einfach wie ich gedacht habe :)
Das oben sollte "C ... _kein_ EZS von V sein, wenn..." richtig?
Vielen dank für die große Hilfe!
Irgendwie ist das in meinen Unterlagen überhaupt nicht beschrieben.
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