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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 So 10.07.2005 | | Autor: | Diddl |
Hallo zusammen...
habe wieder mal ein Problem bezüglich einer Basis -Aufgabe.
Sei [mm] A:=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] und f [mm] \begin{pmatrix}x \\ y\\ z \end{pmatrix} [/mm] := [mm] \begin{pmatrix} -2z \\ x+2y+z\\ x+3z \end{pmatrix} [/mm]
Bestimmen Sie die Matrix M, die f bezüglich der Basis A beschreibt.
Frage: Reicht es, wenn ich hierzu die Darstellungsmatrix berechne???
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Hallo!
Also, eigentlich müsste ich so etwas ja wissen. Leider habe ich es schon wieder halb vergessen, aber ich probier's mal mit einer Antwort:
> Sei [mm]A:=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> und f [mm]\begin{pmatrix}x \\ y\\ z \end{pmatrix}[/mm] :=
> [mm]\begin{pmatrix} -2z \\ x+2y+z\\ x+3z \end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Matrix M, die f bezüglich der Basis A
> beschreibt.
>
> Frage: Reicht es, wenn ich hierzu die Darstellungsmatrix
> berechne???
Also, ich weiß leider nicht mehr, was mit Darstellungsmatrix gemeint ist. Aber ich sehe das hier so:
Wenn A eine Basis ist, dann heißt das wohl, dass die einzelnen Spalten die Basisvektoren sind? Und dann müsstest du glaube ich einfach für jeden dieser drei Vektoren das Bild unter f berechnen, und das Ganze dann als Matrix M schreiben. Meintest du das auch mit Darstellungsmatrix? Ich schätze schon, und ich denke, dass das richtig ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 So 10.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
HI,
in der j-ten Spalte der Darstellungsmatrix steht das Bild des j-ten Basisvektors im "Startraum" dargestellt in der neuen Basis (im "Zielraum"), bzw die entsprechenden Koeffizienten dieser Darstellung.
Hier hast Du links und rechts die gleiche Basis, nämlich die Spalten von A.
Du kannst auch die Basistransformationsformel benutzen, die Stefan gestern jemand anderem gepostet hat. Demnach berechnest Du erst einmal die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis, diese kannst du leicht an der Funktion ablesen. Die erste Spalte ist z.b. (0,1,1).
Jetzt brauchst Du links davon eine Matrix die den Basiswechsel von der Standardbasis in die neue Basis beschreibt und rechts davon die Matrix die den Wechsel von der neuen Basis zur Standardbasis beschreibt. Das besondere ist nun, dass diese Matrizen inverse zueinander operieren und demnach die eine jeweils die Inverse der anderen ist.
Merke: Wenn Du die Basiswechselmatrix von einer beliebigen vorgegebenen Basis in die Standardbasis aufstellen willst, so bestehen ihre Spalten genau aus den Basisvektoren deiner Basis A. Denn in der 1ten Spalte steht das Bild des 1.Basisvektors abgebildet unter der Identität (da Basiswechsel, es passiert nichts) und nun dargestellt in der zweiten Basis (also der Standardbasis). Also, wie stellt man (-1,0,1) bzgl der Standardbasis dar? Genau mit den Koeffizienten (-1,0,1) !!
Du musst also jetzt nur noch die Inverse finden und alles ausmultiplizieren!
Alles klar?
Gruß,
Jazzy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 So 10.07.2005 | | Autor: | Diddl |
muss ich dann als Ergebniss folgende Matrix erhalten? Ich habe es mit den kanonischen Basisvektoren berechnet.
[mm] \pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mo 11.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
habe die andere Frage mal als Mitteilung deklariert, du kannst eine bestehende Frage auch nachträglich ändern...
Jedenfalls hast du bisher nur die Darstellungsmatrix X von f bzgl der Standardbasis berechnet, diese musst du noch mit Hilfe des BasisTransformationssatzes in Basisgestalt A bringen.
Du musst nun also noch berechnen : [mm] B=A^{-1}*X*A
[/mm]
warum gerade das, siehst du entweder an Jazzy's Post oder zum Beispiel an dem hier
(Es wird aber wirklich mal Zeit für einen Text in der MatheBank...
Ich sammle mal meine Links zu dem Thema im Datenbank-Forum...)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 So 10.07.2005 | | Autor: | Diddl |
Jazzy, wenn ich dann die Matrix M bekomme davon die inverse berechne und ausmultipliziere..dann habe ich meine erfragte Matrix??meinst du das
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