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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Basis
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Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 So 23.01.2005
Autor: Semi85

Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hi.
Habe eine Frage zur Bestimmung einer Basis.

Aufgabe:

V sei der Vektorraum der ganz-rationalen Fkt.en 4. Grades mit der Nullstelle 1.

Wie lautet die Basis von V?

Habe jetzt die Aufgabe s angefangen:

Für alle f [mm] \in [/mm] V gilt:
f(1)=0
[mm] \gdw (ax^{4}+bx^{3}+cx²+dx+e)(1)=0 [/mm]
[mm] \gdwe=-(a+b+c+d) [/mm]

also

[mm] V={a(x^{4}-1)+b(x³-1)+c(x²-1)+d(x-1) | a,b,c,d\in \IR} [/mm]

Ist das so richtig? Ist das jetzt die Basis oder was davon ist die Basis? Und wie schreibe ich das auf? Oder bin ich doch schon fertig..?

Gruss Semi

        
Bezug
Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:09 So 23.01.2005
Autor: Semi85

Sorry, habe mich in einer Zeile vertan, da muss

[mm] \gdw [/mm] e=-(a+b+c+d)

hin.

Bezug
        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Mo 24.01.2005
Autor: Paulus

Lieber Semi85


>  
> Aufgabe:
>  
> V sei der Vektorraum der ganz-rationalen Fkt.en 4. Grades
> mit der Nullstelle 1.
>  

Ich denke mal, gemeint ist "Mit einer Nullstelle bei x=1"

> Wie lautet die Basis von V?
>  

Was ist denn das für eine Frage?? Wer hat diese Aufgabe gestellt? Man kann doch nicht von der Basis reden, sondern von einer Basis!

> Habe jetzt die Aufgabe s angefangen:
>  
> Für alle f [mm]\in[/mm] V gilt:
>  f(1)=0
>   [mm]\gdw (ax^{4}+bx^{3}+cx²+dx+e)(1)=0 [/mm]
>   [mm]\gdwe=-(a+b+c+d) [/mm]
>  
> also
>  
> [mm]V={a(x^{4}-1)+b(x³-1)+c(x²-1)+d(x-1) | a,b,c,d\in \IR} [/mm]
>  
>
> Ist das so richtig? Ist das jetzt die Basis oder was davon
> ist die Basis? Und wie schreibe ich das auf? Oder bin ich
> doch schon fertig..?
>  

Ja das ist vollkommen richtig! [super]

Aber ganz fertig bist du noch nicht.

Deine Funktion kannst du ja auffassen als Koordinatentupel $(a,b,c,d)$

Dazu gehört dann
die Funktion [mm] $x^4-1$ [/mm] als 1. Basisfunktion,
die Funktion [mm] $x^3-1$ [/mm] als 2. Basisfunktion,
die Funktion [mm] $x^2-1$ [/mm] als 3. Basisfunktion,
die Funktion $x-1_$ als 4. Basisfunktion.

Die Funktionen [mm] $x^4-1$, $x^3-1$, $x^2-1$ [/mm] und $x-1_$ bilden also eine Basis deiner Polynome. Sie sind aber nicht die einzige Basis! :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
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