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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | homogene Gleichungsystem:
[mm] x_1 +4x_4 +5x_5 [/mm] = 0
[mm] x_1 +2x_2 +10x_4 +13x_5 [/mm] = 0
− [mm] x_1 +x_2 +3x_3 +5x_4 +8x_5 [/mm] = 0
[mm] 2x_1 +2x_2 +x_3 +16x_4 +21x_5 [/mm] = 0
Bestimme eines Basis des Lösungsraums
L := {x [mm] \in \IR^5 [/mm] | x genügen allen vier Gleichungen oben}
d.h. bestimme Vektoren [mm] b_1, [/mm] . . . , [mm] b_l \in [/mm] L, sodass sich jedes x [mm] \in [/mm] L in der Form
x = [mm] s_1b_1 [/mm] + · · · + [mm] s_lb_l
[/mm]
schreiben lässt, für eindeutig bestimmte Skalare [mm] s_1, [/mm] . . . , [mm] s_l \in \IR [/mm] Hinweis: l = 2.
Gib auch ein Gleichungssystem für L an, das nur aus drei Gleichungen besteht. |
hab den gauß-algorithmus versucht- kam zu
[mm] x_1....... +2x_4 [/mm] + [mm] 5x_5 [/mm] =0
[mm] ....2x_2.... +6x_4 [/mm] + 8 [mm] x_5=0
[/mm]
[mm] ...........3x_3 +6x_4+8x_5=0
[/mm]
............+4/3 [mm] x_5 [/mm] =0
Punkte- nur dass es untereinander ist!
letzte Gleichungs sagt [mm] x_5=0
[/mm]
kann ich in obrige einsetzten [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] =0 [mm] /\cdot [/mm] (-1)
[mm] -3x_3 [/mm] = [mm] 6x_4 [/mm]
kann ich in zweite einsetzten
[mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 8x_5 [/mm] =0
Also bräuchte man nur zwei gleichungen? ?
In der angabe steht aber man soll eins angeben dass aus drei Gleichungen besteht ;(
Das mit der basis bestimmen ist mir nicht klar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
1. du musst noch fertig lösen.
jetzt zur Basis,
wenn du etwa die lösung x1=r beliebig, x2=3r, x4=5r x3=0 x5=0 hättest
dann hätten alle Lösungsvektoren die Form r*(1,3,0,5,0) und eine basis wäre irgendein vektor mit festem r. wenn du 2 Variable frei wählen kannst, dann hast du 2 basisvektoren usw.
ich hab deine umformungen nicht überprüft, wenn du alle x raushast mach die probe mit einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 So 20.11.2011 | | Autor: | sissile |
Das ich fertig lösen muss weiß ich jedoch wie ich das mache ist eine andere Frage!!
[mm] x_5=0 [/mm] aus 4Gleichung
aber zu weiteren expliziten lösungen komme ich nicht.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 00:43 So 20.11.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo sissile,
> Das ich fertig lösen muss weiß ich jedoch wie ich das
> mache ist eine andere Frage!!
>
> [mm]x_5=0[/mm] aus 4Gleichung
> aber zu weiteren expliziten lösungen komme ich nicht.
Die letzte Zeile stimmt leider nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 So 20.11.2011 | | Autor: | sissile |
$ [mm] x_1....... +2x_4 [/mm] $ + $ [mm] 5x_5 [/mm] $ =0
$ [mm] ....2x_2.... +6x_4 [/mm] $ + 8 $ [mm] x_5=0 [/mm] $
$ [mm] ...........3x_3 +6x_4+9x_5=0 [/mm] $
0=0
stimmts so?
wie kann ich jetzt explizit [mm] x_1=.., x_2=....usw.
[/mm]
ausrechnen ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst zB [mm] x_4=r, x_5=s [/mm] r, s beliebig setzen, dann die anderen daraus ausrechnen.
Fruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 So 20.11.2011 | | Autor: | sissile |
also [mm] x_4=r
[/mm]
[mm] x_5=s
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \frac{-6r-9s}{3}=-2r-3s
[/mm]
[mm] x_2=\frac{-6r-8s}{2})=-3r-4s
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = -5s - 2r
x= r * [mm] \begin{pmatrix} -2\\-3\\-2\\1\\0 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} -5\\-4\\-3\\0\\1 \end{pmatrix}
[/mm]
Stimm das? und was ist nun der basisvektor?
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> also [mm]x_4=r[/mm]
> [mm]x_5=s[/mm]
>
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\frac{-6r-9s}{3}=-2r-3s[/mm]
>
> [mm]x_2=\frac{-6r-8s}{2})=-3r-4s[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = -5s - 2r
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts. Wenn das, was oben steht, richtig ist, dann haben alle Lösungen Deines Gleichungssystems die Gestalt
>
> x= r * [mm]\begin{pmatrix} -2\\
-3\\
-2\\
1\\
0 \end{pmatrix}[/mm] + s * [mm]\begin{pmatrix} -5\\
-4\\
-3\\
0\\
1 \end{pmatrix}[/mm]
Die beiden erzeugenden Vektoren sind offensichtlich linear unabhängig, also bilden sie zusammen eine Basis des Lösungsraumes Deines Gleichungssystem. Der Lösungsraum hat also die Dimension 2.
Gruß v. Angela
>
> Stimm das? und was ist nun der basisvektor?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 So 20.11.2011 | | Autor: | sissile |
danke
ist erledigt!
großes danke an die helfenden ;)
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