Basis+ lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 So 10.01.2010 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Es seien V,W zwei [mm] \IR-VR [/mm] ,B={b1,b2,b3} eine Basis von V und A={a1,a2,a3} eine Basis von W. Man zeige:
1. Es existiert genau eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] :V->W mit
[mm] \phi (2b_{1}-2b_{2}+b_{3}) [/mm] = [mm] -a_{1}+a_{2}
[/mm]
[mm] \phi (b_{1}-2b_{2} [/mm] + [mm] b_{3} [/mm] )= [mm] -2a_{1}
[/mm]
[mm] \phi (b_{2} [/mm] - [mm] b_{3}) [/mm] = [mm] a_{1}+a_{2}
[/mm]
2. Man bestimme die [mm] \phi^{2} [/mm] zugeordneten Matrix bzgl. der Basen B und A. |
hallo,
ich hab mir die aufgabe schon paar mal angeschaut,aber ich weiß einfach nicht so recht wie ich anfangen soll.
hat jemand einen anstoß für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 So 10.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien V,W zwei [mm]\IR-VR[/mm] ,B={b1,b2,b3} eine Basis von V und
> A={a1,a2,a3} eine Basis von W. Man zeige:
> 1. Es existiert genau eine lineare Abbildung [mm]\phi[/mm] :V->W
> mit
> [mm]\phi (2b_{1}-2b_{2}+b_{3})[/mm] = [mm]-a_{1}+a_{2}[/mm]
> [mm]\phi (b_{1}-2b_{2}[/mm] + [mm]b_{3}[/mm] )= [mm]-2a_{1}[/mm]
> [mm]\phi (b_{2}[/mm] - [mm]b_{3})[/mm] = [mm]a_{1}+a_{2}[/mm]
Ueberleg dir mal:
1) Bilden $2 [mm] b_1 [/mm] - 2 [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3$, $b_1 [/mm] - 2 [mm] b_2$ [/mm] und [mm] $b_2 [/mm] - [mm] b_3$ [/mm] eine Basis von $V$?
2) Wenn sie eine Basis bilden, was sagt dies darueber aus, ob es eine solche lineare Abbildung gibt bzw. wieviele solche linearen Abbildungen es gibt?
> 2. Man bestimme die [mm]\phi^{2}[/mm] zugeordneten Matrix bzgl. der
> Basen B und A.
Was soll [mm] $\phi^2$ [/mm] sein? Da nicht $V = W$ ist kann man [mm] $\phi \circ \phi$ [/mm] nicht bilden, womit das nicht gemeint sein kann. Kannst du die Aufgabenstellung nochmal ueberpruefen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 So 10.01.2010 | | Autor: | simplify |
danke erstmal.
ich werde dann erstmal ein wenig rumprobieren.
die aufgabenstellung hab ich mir nochmal angeschaut und sie ist so,wie ich sie getippt habe.
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> danke erstmal.
> ich werde dann erstmal ein wenig rumprobieren.
> die aufgabenstellung hab ich mir nochmal angeschaut und
> sie ist so,wie ich sie getippt habe.
Hallo,
das ist gewiß ein Tippfehler, und Du sollst die darstellende Matrix von [mm] \phi [/mm] bestimmen bzgl. der beiden Basen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:35 So 10.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ich hab mal eine zweispaltige elementare umformung versucht und bin zu diesem ergebnis gekommen :
2 -2 1 | -1 1 0 I
1 -2 1 | -2 0 0 II
0 1 -1 | 1 1 0 III
--------------------------
2 -2 1 | -1 1 0
0 0 0 | 0 0 0 (II - 2I) + (III +I)
0 0 0 | 0 0 0 (III + I) + (II -2I)
aber ich bin mir nicht sicher wie es mir weiter helfen soll.
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> Ich hab mal eine zweispaltige elementare umformung versucht
> und bin zu diesem ergebnis gekommen :
Hallo,
kannst Du kurz sagen, bei welcher Teilaufgabe Du bist und was das genaue Ziel Deiner Bemühungen ist?
Was willst Du gerade ausrechnen?
Gruß v. Angela
>
> 2 -2 1 | -1 1 0 I
> 1 -2 1 | -2 0 0 II
> 0 1 -1 | 1 1 0 III
> --------------------------
> 2 -2 1 | -1 1 0
> 0 0 0 | 0 0 0 (II - 2I) + (III +I)
> 0 0 0 | 0 0 0 (III + I) + (II -2I)
>
> aber ich bin mir nicht sicher wie es mir weiter helfen
> soll.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 10.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ich bin noch bei der ersten teilaufgabe
(i) man zeige es existiert genau eine lineare Abbildung [mm] \mu [/mm] : V --> W mit....
Ich dachte mir ich prüfe erste mal ob die angegebenen vektoren lin. unabhängig sind (und einen Basis so darstellen) aber das stellte sich ja bei meiner umformung nicht heraus.
Ich dachte dass es mir vllt hilft die aufgabe besser zu verstehen aber ich steh immer noch am anfang.
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> Ich bin noch bei der ersten teilaufgabe
> (i) man zeige es existiert genau eine lineare Abbildung [mm]\mu[/mm]
> : V --> W mit....
>
> Ich dachte mir ich prüfe erste mal ob die angegebenen
> vektoren lin. unabhängig sind (und einen Basis so
> darstellen)
Hallo,
achso. Das ist eine ausgezeichnete Idee!
Du willst also schauen, ob [mm] c_1:=2b_{1}-2b_{2}+b_{3}, c_2:=b_{1}-2b_{2} [/mm] $ + $ [mm] b_{3} [/mm] $, [mm] c_3:=b_{2} [/mm] $ - $ [mm] b_{3} [/mm] linear unabhängig sind.
Zwei Möglichkeiten: Nach voraussetzung ist [mm] (b_1, b_2, b_3) [/mm] linear unabhängig, und Du löst jetzt
[mm] \lambda_1c_1+\lambda_2c_2+\lambda_c_3=0,
[/mm]
indem Du es schreibst als [mm] (...)b_1+(...)b_2+(...)b_3=0,
[/mm]
dann verwenden, daß [mm] (b_1, b_2, b_3) [/mm] linear unabhängig ist.
2. Möglichkeit:
Du schreibst [mm] c_1, c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] also Koordinatenvektoren bzgl. der Basis [mm] B=(b_1, b_2, b_3),
[/mm]
also [mm] c_1=\vektor{2\\-2\\1} [/mm] , usw.
und bestimmst den Rang der Matrix, die diese drei Vektoren in den Spalten hat.
Bringe die 3x3-Matrix dazu auf Zeilenstufenform.
Ist der Rang=3, so sind die drei Vektoren linear unabhängig.
Wenn Du das hast, weißt Du, daß [mm] c_1, c_2, c_3 [/mm] eine Basis bilden.
Dann erinnere Dich an den Satz, daß durch die Angabe der Werte auf einer Basis eine lineare Abbildung eindeutig festgelegt ist.
(Manchmal wird er auch mit "man kann sie linear fortsetzen" formuliert.)
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:43 So 10.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ich hab es nach deiner 2. Möglichkeit gemacht.
Bin aber zu dem ergebnis gekommen, dass der Rang der matrix =1 ist.
weiß du da weiter?
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Hallo,
zeig Deine Matrix und wie Du sie umgeformt hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 10.01.2010 | | Autor: | Ayame |
2 -2 1 I
1 -2 1 II
0 1 -1 III
--------------------
2 -2 1 I
-3 2 -1 II-2I
2 -1 0 III + I
---------------------
2 -2 1 I
-1 1 -1 (II -2I) + (III+I)
-1 1 -1 (III+ I) + (II -2I)
---------------------
Und jetzt seh ich ja schon dass die letzten zwei vektoren lin abhängig sind.
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> 2 -2 1 I
> 1 -2 1 II
> 0 1 -1 III
> --------------------
> 2 -2 1 I
> -3 2 -1 II-2I
> 2 -1 0 III + I
> ---------------------
> 2 -2 1 I
> -1 1 -1 (II -2I) + (III+I)
> -1 1 -1 (III+ I) + (II -2I)
> ---------------------
>
> Und jetzt seh ich ja schon dass die letzten zwei vektoren
> lin abhängig sind.
Hallo,
Du machst das mit der Zeilenstufenform falsch, weil Dir das Ziel offenbar nicht klar ist.
Wir starten mit [mm] \pmat{\red{2}&-2&1\\1&-2&1\\0&1&-1}
[/mm]
Ziel: Nullen unter der 2 in der 1. Spalte.
1. Zeile - 2*2. Zeile
[mm] -->\pmat{2&-2&1\\0&\red{2}&-1\\0&1&-1}
[/mm]
Ziel: Nullen unter der führenden 2 der 2. Zeile
2.Zeile - 2*3.Zeile
[mm] -->\pmat{2&-2&1\\0&\red{2}&-1\\0&0&1}
[/mm]
Man sieht: der Rang =3.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 So 10.01.2010 | | Autor: | Ayame |
AAAH ich glaub jetzt hab ich .
f: V --> W
da die Basis von V bestimmten bildvekoren von W zugeordnet wurde, sind auch alle anderen elemente von V bestimmten bildvektoren von W zugeordnet, da sich ja alle elemente von V als Linearkombinationen der basisvektoren von V darstellen lassen.
super danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 So 10.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ich hab mich nu veruscht die zu [mm] \mu [/mm] zugehörige matrix bzgl. der Basen B und A aufzuchreiben.
erst ma bzgl. der basis B :
[mm] a*\vektor{2 \\ -2\\ 1} [/mm] + b* [mm] \vektor{1 \\ -2\\1}+ [/mm] c* [mm] \vektor{0 \\ 1\\-1}= \vektor{1 \\ 0\\0}
[/mm]
a= -1
b= 1
c= 0
[mm] a*\vektor{2 \\ -2\\ 1} [/mm] + b* [mm] \vektor{1 \\ -2\\1}+ [/mm] c* [mm] \vektor{0 \\ 1\\-1}=\vektor{0 \\ 1\\0}
[/mm]
a= 1
b=-2
c=-1
[mm] a*\vektor{2 \\ -2\\ 1} [/mm] + b* [mm] \vektor{1 \\ -2\\1}+ [/mm] c* [mm] \vektor{0 \\ 1\\-1}=\vektor{0 \\ 0\\1}
[/mm]
a= 1
b= -2
c= -2
also ist die matrix von [mm] \mu [/mm] bzgl. der basis B = [mm] \pmat{ -1 & 1&1 \\ 1 & -2&-2\\ 0&-1&-2 }
[/mm]
Aber wie mach ich das mit der Matrix bzgl. der basis A ???
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> Ich hab mich nu veruscht die zu [mm]\mu[/mm] zugehörige matrix
> bzgl. der Basen B und A aufzuchreiben.
Hallo,
wir hatten ja gegeben
[mm] f(c_1)=-a_1+a_2
[/mm]
[mm] f(c_2)=-2a_1
[/mm]
[mm] f(c_3)=a_1+a_2
[/mm]
mit
[mm] c_1:=2b_{1}-2b_{2}+b_{3}, [/mm]
[mm] c_2:=b_{1}-2b_{2} [/mm] + [mm] b_{3} [/mm]
[mm] c_3:=b_{2}-b_{3} [/mm] .
In den Spalten der Darstellungmatrix [mm] _AM(f)_B [/mm] von f bzgl der Basen [mm] B=(b_1, b_2, b_3) [/mm] und [mm] A=(a_1, a_2) [/mm] stehen die Bilder dar Basisvektoren von B, also die [mm] f(b_i), [/mm] in Koordinaten bzgl A.
Wie findet man nun heraus, was [mm] f(b_1) [/mm] ist?
Da wir die [mm] f(c_i) [/mm] kennen, schreiben wir [mm] b_1 [/mm] als Linearkombination der [mm] c_i [/mm] und können dann die Linearität von f nutzen.
>
> erst ma bzgl. der basis B :
>
> [mm]a*\vektor{2 \\ -2\\ 1}[/mm] + b* [mm]\vektor{1 \\ -2\\1}+[/mm] c*
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\-1}= \vektor{1 \\ 0\\0}[/mm]
>
> a= -1
> b= 1
> c= 0
Du hast hier ausgerechnet, daß [mm] b_1=-1*c-1+1*c_2 [/mm] ist.
Also ist
[mm] f(b_1)=f(-c_1+c_2)=-f(c_1)+f(c_2)=a_1-a_2-2a_1=-a_1-a_2=\vektor{-1\\-1}_{(A)}, [/mm]
und dies ist die erte Spalte der Matrix [mm] _AM(f)_B, [/mm] die f bzgl der Basen B und A darstellt.
Die anderen Spalten entsprechend.
>
> erst ma bzgl. der basis B :
>
> [mm]a*\vektor{2 \\ -2\\ 1}[/mm] + b* [mm]\vektor{1 \\ -2\\1}+[/mm] c*
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\-1}= \vektor{1 \\ 0\\0}[/mm]
>
> a= -1
> b= 1
> c= 0
>
> [mm]a*\vektor{2 \\ -2\\ 1}[/mm] + b* [mm]\vektor{1 \\ -2\\1}+[/mm] c*
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\-1}=\vektor{0 \\ 1\\0}[/mm]
>
> a= 1
> b=-2
> c=-1
>
>
> [mm]a*\vektor{2 \\ -2\\ 1}[/mm] + b* [mm]\vektor{1 \\ -2\\1}+[/mm] c*
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\-1}=\vektor{0 \\ 0\\1}[/mm]
>
> a= 1
> b= -2
> c= -2
>
> also ist die matrix von [mm]\mu[/mm] bzgl. der basis B = [mm]\pmat{ -1 & 1&1 \\ 1 & -2&-2\\ 0&-1&-2 }[/mm]
Die Matrix, die Du hier aufgestellt hast, ist nicht die Abbildungsmatrix von f, sondern es ist die Transformationsmatrix [mm] _CT_B [/mm] für den Basiswechsel von B nach C, also die Matrix, die Dir Vektoren, die in Koordinatenbzgl. B gegeben sind, in dieselben Vektoren, aber in Koordinaten bzgl C, umwandelt.
In ihren Spalten stehen die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C. (Ich habe nur die erste Spalte nachgerechnet.)
(Wenn Du sie invertierst, hast Du die Transformationsmatrix [mm] _BT_C [/mm] für den Wechsel von C nach B.)
Diese Transformationsmatrizen sind auch sehr nützlich:
Es ist sehr leicht, die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Basen C und A, [mm] _AM(f)_C, [/mm] aufzustellen.
Die Matrix [mm] _AM(f)_B [/mm] bekommt man dann so:
[mm] _AM(f)_B=_AM(f)_C*_CT_B.
[/mm]
Wenn Du etwas Zeit hast, kanst Du es ja ausprobieren.
Gruß v. Angela
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