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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 So 07.12.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | Betrachten sie die linearen Abbildungen [mm] f:\IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3} [/mm] und g: [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3} [/mm] definiert durch f(x) = [mm] \pmat{x_{1}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3} \\ x_{1}+x_{2}-x_{3}} [/mm] , g(x) = [mm] \pmat{x_{1}+x_{2} \\ x_{2}+x_{3} \\ x_{1}-x_{3}}
[/mm]
wobei [mm] x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} [/mm] und die Basen
[mm] B_{1} [/mm] = [mm] {\vektor{1 \\ 1 \\ 0} , \vektor{2 \\ 0 \\ 1} , \vektor{0 \\ 1 \\ 0}}, B_{2} [/mm] = [mm] {\vektor{1 \\ 0 \\ 0} , \vektor{1 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 1 \\ 1}} [/mm] des [mm] \IR^{3}.
[/mm]
i)Abbildungsmatrix M von [mm] B_{1} [/mm] nach [mm] B_{1} [/mm] von f und g.
ii)Abbildungsmatrix M von [mm] B_{2} [/mm] nach [mm] B_{2} [/mm] von f.
iii) Übergangsmatrix von [mm] B_{1} [/mm] nach [mm] B_{2} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] nach [mm] B_{1}.
[/mm]
iv) Besteht ein Zusammenhang zw. Abilldungsmatrix von f aus i) und Abbildungsmatrix von f aus ii) und den Übergangsmatrizen P,Q, wenn ja welcher? |
Hallo kann mir eventuell jemand helfen?
i) [mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 0})= \vektor{1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] f(\vektor{2 \\ 0 \\ 1})= \vektor{3 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})= \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
M von [mm] B_{1} [/mm] nach [mm] B_{1}= \vektor{1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1}
[/mm]
[mm] g(\vektor{1 \\ 1 \\ 0})= \vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] g(\vektor{2 \\ 0 \\ 1})= \vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] g(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})= \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
M von [mm] B_{1} [/mm] nach [mm] B_{1}= \vektor{2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0}
[/mm]
ii) [mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 0})=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 1})=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
M von [mm] B_{2} [/mm] nach [mm] B_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1}
[/mm]
Sind diese ersten beiden Teile richtig? Bei den anderen weiß ich nicht wie ich es ausrechnen muss, kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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> Betrachten sie die linearen Abbildungen [mm]f:\IR^{3}[/mm] ->
> [mm]\IR^{3}[/mm] und g: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{3}[/mm] definiert durch f(x) =
> [mm]\pmat{x_{1}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3} \\ x_{1}+x_{2}-x_{3}}[/mm] ,
> g(x) = [mm]\pmat{x_{1}+x_{2} \\ x_{2}+x_{3} \\ x_{1}-x_{3}}[/mm]
>
> wobei [mm]x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}[/mm] und die Basen
> [mm]B_{1}[/mm] = [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0} , \vektor{2 \\ 0 \\ 1} , \vektor{0 \\ 1 \\ 0}}, B_{2}[/mm]
> = [mm]{\vektor{1 \\ 0 \\ 0} , \vektor{1 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 1 \\ 1}}[/mm]
> des [mm]\IR^{3}.[/mm]
> i)Abbildungsmatrix M von [mm]B_{1}[/mm] nach [mm]B_{1}[/mm] von f und g.
> ii)Abbildungsmatrix M von [mm]B_{2}[/mm] nach [mm]B_{2}[/mm] von f.
> iii) Übergangsmatrix von [mm]B_{1}[/mm] nach [mm]B_{2}[/mm] und [mm]B_{2}[/mm] nach
> [mm]B_{1}.[/mm]
> iv) Besteht ein Zusammenhang zw. Abilldungsmatrix von f
> aus i) und Abbildungsmatrix von f aus ii) und den
> Übergangsmatrizen P,Q, wenn ja welcher?
> Hallo kann mir eventuell jemand helfen?
> i) [mm]f(\vektor{1 \\ 1 \\ 0})= \vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{2 \\ 0 \\ 1})= \vektor{3 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})= \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> M von
> [mm]B_{1}[/mm] nach [mm]B_{1}= \vektor{1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1}[/mm]
>
> [mm]g(\vektor{1 \\ 1 \\ 0})= \vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]g(\vektor{2 \\ 0 \\ 1})= \vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]g(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})= \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> M von
> [mm]B_{1}[/mm] nach [mm]B_{1}= \vektor{2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0}[/mm]
Hallo,
was Du aufgestellt hast, ist die Abbildungsmatrix von [mm] B_1 [/mm] in die Standardbasis.
Willst Du die matrix von [mm] B_1 [/mm] nach [mm] B_1, [/mm] mußt Du die Bilder der Basisvektoren von [mm] B_1 [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren von [mm] B_1 [/mm] schreiben, und diese Koeffeinzenten dann jeweils in die Matrix stapeln (Koordinatenvektor).
Die anderen entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Calcio |
Hallo,
ich habe die gleiche Aufgabe und hänge bei der Übergangsmatrix von B1 nach B2.
Ich htte mir gedacht die einzelnen Vektoren von B1 als Linearkombination von B2 zu schreiben und die Ergebnisse dann zu einer Matrix, der Übergangsmatrix, zusammenzufügen.
Allerdings klappt das nicht wirklich..
Wäre nett, wenn ihr mir sagen könntet, wie man sowas macht.
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> Hallo,
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> ich habe die gleiche Aufgabe und hänge bei der
> Übergangsmatrix von B1 nach B2.
>
> Ich htte mir gedacht die einzelnen Vektoren von B1 als
> Linearkombination von B2 zu schreiben und die Ergebnisse
> dann zu einer Matrix, der Übergangsmatrix,
> zusammenzufügen.
> Allerdings klappt das nicht wirklich..
> Wäre nett, wenn ihr mir sagen könntet, wie man sowas macht.
>
Hallo,
was Du schreibst, klingt sehr vernünftig.
Poste mal, was Du bisher hast, damit man sieht, wo das Problem liegt.
Unter "klappt nicht richtig" kann man sich ja Vielerlei vorstellen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Calcio |
Ich hab [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = a11 [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] + a21 [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + a31 [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
woraus dann folgt, dass a11 0 ist, a21=1 und a31=0. also der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
das hab ich für [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] genauso gemacht und dann die 3 Vektoren zu einer Matrix zusammengebaut
also zu [mm] \pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
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> Ich hab [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] = a11 [mm]\vektor{1\\ 0 \\ 0}[/mm] +
> a21 [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + a31 [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> woraus dann folgt, dass a11 0 ist, a21=1 und a31=0. also
> der Vektor [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> das hab ich für [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> genauso gemacht und dann die 3 Vektoren zu einer Matrix
> zusammengebaut
>
> also zu [mm]\pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
Hallo,
nachgerechnet hab' ich nichts.
Wenn Du das so machst, bekommst Du die Matrix [mm] _{B_2}T_{B_1}, [/mm] welche folgendes tut:
Du fütterst sie mit Koordinaten bzgl [mm] B_1 [/mm] und sie liefert Dir denselben Vektor in Koordinaten bzgl [mm] B_2.
[/mm]
Warum bist du unzufrieden? was ist nicht in Ordnung Deiner Meinung nach?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Calcio |
Mich stört irgendwie, dass wenn ich B1 mit der neuen Matrix multipliziere nicht B2 rauskommt.
Vllt hab ich auch das Prinzip von einer Übergangsmatrix nicht richtig verstanden und es ist mir deshalb nicht klar, warum mein Ergebnis stimmt.
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> Mich stört irgendwie, dass wenn ich B1 mit der neuen Matrix
> multipliziere nicht B2 rauskommt.
> Vllt hab ich auch das Prinzip von einer Übergangsmatrix
> nicht richtig verstanden und es ist mir deshalb nicht klar,
> warum mein Ergebnis stimmt.
Hallo,
achso, jetzt verstehe ich.
Das, was Du [mm] B_1 [/mm] nennst, ist die matrix, welche Dir Koordnatenvektoren bzgl [mm] B_1 [/mm] in solche bzgl der Standardbasis E umformt, also in meiner Schreibweise [mm] _ET_{B_1}.
[/mm]
Du möchtest durch Multiplikation mit $ [mm] \pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] $ = $ [mm] _{B_2}T_{B_1}, [/mm] $
nun irgendwie [mm] B_2 [/mm] bekommen, also die Matrix, die aus Koordinatenvektoren bzgl. [mm] B_2 [/mm] solche bzgl. E macht, also [mm] _ET_{B_2}.
[/mm]
Das kann durch einfache Multiplikation dieser drei Matrizen nicht klappen, denn [mm] B_2=_ET_{B_2} [/mm] "frißt" Koordinaten bzgl [mm] B_2, [/mm] die beiden anderen Matrizen aber solche bzgl [mm] B_1.
[/mm]
Aber Du bekommst [mm] B_2=_ET_{B_2}, [/mm] wenn Du rechnest [mm] _ET_{B_1} _{B_1}T_{B_2}, [/mm] denn [mm] _{B_1}T_{B_2} [/mm] frißt Koordinaten bzgl. [mm] B_2, [/mm] gibt solche bzgl [mm] B_1 [/mm] von sich, welche dann von [mm] _ET_{B_1} [/mm] gefressen und in solche bzgl E verwandelt werden.
Bleibt die Frage, wo man [mm] _{B_1}T_{B_2} [/mm] hierbekommt. ganz einfach [mm] _{B_1}T_{B_2} =(_{B_2}T_{B_1})^{-1}.
[/mm]
Noch kurz zu "meiner " Schreibweise, die ich mir hier im Forum abgeguckt habe, weil sie mir gefällt: rechts steht immer die Basis, bzgl derer die Matrix gefüttert wird, links, in Koordinaten bzgl welcher Basis das Ergebnis ist. Man muß nun matrizen so multiplizieren, daß gleiche Basen rechts und links des gedachten (oder vorhandenen) Multiplikationspunktes stehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Calcio |
Ok,
also ist meine matrix [mm] \pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] ist die Matrix, wo ich B1 reingesteckt habe und die mir dann die Koordinaten von der Basis B2 wiedergibt?
Um jetzt aber die Matrix zu bekommen, die ich eigentlich haben will, muss ich die Matrix von oben invertieren. dann die Basis B1 mit der Einheitsmatrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] so verarbeiten wie ich es ganz am Anfang mit B1 und B2 gemacht habe und die beiden Matrizen miteinander multiplizieren. Und die daraus entstandene Matrix kann ich dann mit B1 multiplizieren und es kommt B2 raus?
stimmt das so?
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> Ok,
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> also ist meine matrix [mm]\pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> ist die Matrix, wo ich B1 reingesteckt habe und die mir
> dann die Koordinaten von der Basis B2 wiedergibt?
Ja - soern Du alles richtig gerechnet hast, was ich nicht kontrolliert habe. Die erste Spalte jedenfalls stimmt.
>
> Um jetzt aber die Matrix zu bekommen, die ich eigentlich
> haben will, muss ich die Matrix von oben invertieren.
Dann hast Du [mm] \pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }^{-1}=_{B_1}T_{B_2}
[/mm]
dann
> die Basis B1 mit der Einheitsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> so verarbeiten wie ich es ganz am Anfang mit B1 und B2
> gemacht habe
Im Prinzip ja.
[mm] _ET_{B_1} [/mm] ist dann aber einfach die Matrix, in die Du die die Basisvektoren von [mm] B_1 [/mm] stellst, sie sind ja bzgl. E gegeben.
[mm] _ET_{B_1}*_{B_1}T_{B_2} =_ET_{B_2}, [/mm] und wenn Du alles richtig gemacht hast, stehen in [mm] _ET_{B_2} [/mm] die Basisvektoren von [mm] B_2 [/mm] schön nebeneinander.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Calcio |
WOW, es funktioniert :)
Vielen Dank!!!
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