Basen und Dimensionen bestimme < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Sa 03.02.2007 | | Autor: | agga |
| Aufgabe | Betrachte die Unterräume $U = Span((1,3,0,1), (1,0,0,-1), (-1,3,0,3)), W = Span((0,3,2,2), (0,0,2,0))$ des Vektorraumes [mm] $\IR^4$. [/mm] Bestimme Basen und die Dimension von $U, W, U [mm] \cap [/mm] W, U+W$.
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Hi,
das Thema ist bei uns neu und ich werde aus den Aufzeichnungen aus der Vorlesung nicht wirklich schlau. Kann mir bitte jemand sagen, wie man denn Basen und Dimension aus einem Spann bestimmt und wie man den Durchschnitt bzw. die Summe bildet. Könnte das eventuell jemand anhand einer Beispielrechnung machen? Ich wär euch wirklich voll dankbar. Vielleicht könntet ihr sogar die Ergebnisse von allen vier Teilen hinschreiben, sodass ich dann kontrollieren kann, ob ich dann für mich nach der Rechnung das richtige Ergebnis rausgekriegt hab.
Gruß
Agga
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Sa 03.02.2007 | | Autor: | thoma2 |
dim U bzw. dim V bestimmst du normal mit gauss
bei den anderen schreibst du dir eine matrix mit [mm] \pmat{ U^T & U^T \\ V^T & 0 }
[/mm]
und bringst sie mit gauss auf obere dreiecksform.
bsp.:
sei U = [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}>
[/mm]
und V = [mm] <\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 0}>
[/mm]
dann ist [mm] \pmat{ U^T & U^T \\ V^T & 0 } [/mm] =
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\}
[/mm]
auf obere dreiecksform
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ [red]0[/red] & [red]0[/red] & [red]0[/red] & -1 & 0 & 0 \\}
[/mm]
aus der linken seite, oberhalb der roten nullen, folgt, T+U = [mm] \IR^3 [/mm] und aus der rechten seite, neben den roten nullen, folgt T [mm] \cap [/mm] U = [mm] E_{1} [/mm]
dim [mm] \IR^3 [/mm] = 3
dim [mm] E_{1} [/mm] = 1
sollte klar sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Sa 03.02.2007 | | Autor: | agga |
Hi thoma, danke schonmal für die Erklärung. Ich rechne jetzt mal mit meiner Aufgabe vor. Wäre echt lieb von dir, ob du mir dann sagen könntest, ob alles richtig gerechnet ist und ob ichs verstanden hab. Ansonsten bitte Korrektur.
Also für U:
[mm] $\pmat{ 1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 3 } \sim \pmat{ 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 & -2 \\ 0 & 6 & 0 & 4 } \sim \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Also müsste die Dimension von U = 2 sein, da nur noch zwei Vektoren übrigbleiben nach Gauß. Und als Basis kann ich dann nehmen $< [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ \frac{2}{3}} [/mm] >$ , richtig?
Für W:
[mm] $\pmat{ 0 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 } \sim \pmat{ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }$
[/mm]
Also ist hier die Dimension auch von W = 2 mit der Basis $< [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 0 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] >$ , richtig?
So, wenn ich dann die Ergebnisse in diese Matrix einsetze, dann erhalte ich folgendes:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 3 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } \sim \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 }$
[/mm]
Wenn ich das dann verstanden habe, bekomme ich für $U + W = [mm] \IR^3$ [/mm] ??? und für $dim(U [mm] \cap [/mm] W) = 1$ und als Basis von $U [mm] \cap [/mm] W = [mm] <\vektor{0 \\ 3 \\ 0 \\ 2}>$
[/mm]
Habe ich so alles richtig gemacht?
Gruß
agga
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 So 04.02.2007 | | Autor: | thoma2 |
das sieht soweit ganz gut aus. nur hast du U + W nicht richtig interpretiert.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 }
[/mm]
denn eine basis von U + W = < [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ \bruch{2}{3}},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}>
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:38 Mo 05.02.2007 | | Autor: | agga |
Vielen Dank thoma, du hast mir wirklich sehr weitergeholfen.
Gruß
agga
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 So 04.02.2007 | | Autor: | agga |
Wenn thoma vielleicht keine Zeit hat, könnte dann eventuell jemand anderes nachrechnen und mir mitteilen ob ich das richtig gemacht habe.
Danke an alle!!!
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