Basen finden < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Schreiben Sie vier verschiedene Basen des [mm] \IR^4 [/mm] auf.
(b) Finden Sie eine Basis für jeden der gegebenen Unterräume des [mm] \IR^4:
[/mm]
(i) $ W = { [mm] (x_1, x_2, x_3, x_4) [/mm] : [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0} $
(ii) [mm] W=\left{x\in\IR^4 : A*x=0\right} [/mm] mit [mm] A=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 5 }
[/mm]
(iii) [mm] W=Span(v_1, v_2, v_3, v_4) v_1=(1,2,0,1) v_2=(0,-3,1,1) v_3=(2,1,1,2) v_4=(3,0,2,3) [/mm] |
Hi,
also es fängt im Prinzip schon bei der ersten Aufgabe an. Ich kann natürlich eine Basis finden, die Standardbasis, aber danach wird es dann schon schwieriger. Die Bedingungen sind mir bekannt. Wie gehe ich denn dort am schlausten vor ? Kann man das ganze etwas systematisch machen ?
Bei dem Gleichungsystem habe ich dann gar keine Ahnung. (iii) ist zu schaffen. Hier würde ich die Vektoren also Zeilen einer Matrix schreiben und das Gleichungsystem lösen, dabei kann ich mehrere Vektoren (eventuell rausschmeißen).
Danke für eventuelle Antworten.
Lg
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Hallo!
> (a) Schreiben Sie vier verschiedene Basen des [mm]\IR^4[/mm] auf.
> (b) Finden Sie eine Basis für jeden der gegebenen
> Unterräume des [mm]\IR^4:[/mm]
> (i) [mm]W = { (x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 - x_2 + 3x_3 + x_4 = 0}[/mm]
>
> (ii) [mm]W=\left{x\in\IR^4 : A*x=0\right}[/mm] mit [mm]A=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 5 }[/mm]
>
> (iii) [mm]W=Span(v_1, v_2, v_3, v_4) v_1=(1,2,0,1) v_2=(0,-3,1,1) v_3=(2,1,1,2) v_4=(3,0,2,3)[/mm]
>
> Hi,
>
> also es fängt im Prinzip schon bei der ersten Aufgabe an.
> Ich kann natürlich eine Basis finden, die Standardbasis,
> aber danach wird es dann schon schwieriger. Die Bedingungen
> sind mir bekannt. Wie gehe ich denn dort am schlausten vor
> ? Kann man das ganze etwas systematisch machen ?
Natürlich 
Also, eine Basis hast du schon genannt,
[mm] \left(\vektor{1\\0\\0\\0},\vektor{0\\1\\0\\0},\vektor{0\\0\\1\\0},\vektor{0\\0\\0\\1}\right)
[/mm]
Wenn du nun einfach ein Vielfaches von einem Vektor bildest und diesen mit dem ursprünglichem austauschst, verändert sich der aufgespannte Raum nicht! (Zumindest über dem Körper [mm] \IR).
[/mm]
Wenn du zwei Vektoren aus der Basis nimmst, addierst, und dann den Ergebnisvektor mit einem der beiden benutzten Vektoren austauschst, verändert sich der aufgespannte Raum nicht!
Mach' dir das klar, und du kannst Tausende von Basen aufschreiben.
> Bei dem Gleichungsystem habe ich dann gar keine Ahnung.
Zu (i):
Du hast die Gleichung gegeben:
[mm] $x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0$
Das heißt, deinen Vektoren [mm] (x_1,x_2,x_3,x_4) [/mm] wird eine Bedingung auferlegt, damit sie zum Untervektorraum W gehören dürfen. Die Lösungsmenge dieses "Gleichungssystems" (Es ist ein Gleichungssystem, das nur aus einer Gleichung besteht), ist also der Untervektorraum W, denn alle Vektoren [mm] (x_1,x_2,x_3,x_4), [/mm] welche diese Gleichung erfüllen, sind ja im Untervektorraum W drin.
Also müssen wir das Gleichungssystem lösen. Da wir vier Unbekannte haben, aber nur eine Gleichung, dürfen wir drei Parameter frei wählen.
Wähle [mm] $x_4 [/mm] = [mm] \lambda\in\IR$, $x_3 [/mm] = [mm] \mu\in\IR$, $x_2 [/mm] = [mm] \eta\in\IR$.
[/mm]
Dann ergibt sich aus der Gleichung für [mm] x_1:
[/mm]
[mm] $x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] - [mm] x_4 [/mm] = [mm] \eta [/mm] - [mm] 3*\mu [/mm] - [mm] \lambda$.
[/mm]
Also erfüllen alle Vektoren der Form
[mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\x_4} [/mm] = [mm] \vektor{\eta - 3*\mu - \lambda\\ \eta \\ \mu \\ \lanmbda}$
[/mm]
Das Gleichungssystem, den Raum W könnten wir also auch schreiben als:
$W = [mm] \{\vektor{\eta - 3*\mu - \lambda\\ \eta \\ \mu \\ \lambda}, \lambda,\mu,\eta\in\IR\}$
[/mm]
Indem wir nun den Vektor "auseinanderziehen", nach den einzelnen Parametern, erhalten wir automatisch die gesuchte Basis!
$= [mm] \{\lambda*\vektor{-1\\0\\0\\1} + \mu*\vektor{-3\\0\\1\\0} + \eta*\vektor{1\\1\\0\\0}, \lambda,\mu,\eta\in\IR\}$
[/mm]
Du solltest das zur Sicherheit nochmal nachrechnen, könnte sein, dass ich mich verrechnet habe.
Was ist nun die Basis von W?
Zu (ii):
Der Untervektorraum W von [mm] \IR^{4} [/mm] wird hier charakterisiert durch die Gleichung
$A*x = 0$
Das bedeutet, jeder Vektor [mm] x\in\IR^{4}, [/mm] der die Gleichung erfüllt, ist auch im Untervektorraum W.
Du musst also den Kern der Matrix A bestimmen, das ist der gesuchte Untervektorraum W!
Es entsteht wieder ein Gleichungssystem, diesmal aber eben mit 3 Gleichungen, dann aber dasselbe Prinzip wie bei (i).
> (iii) ist zu schaffen. Hier würde ich die Vektoren also
> Zeilen einer Matrix schreiben und das Gleichungsystem
> lösen, dabei kann ich mehrere Vektoren (eventuell
> rausschmeißen).
Hier gibt es kein Gleichungssystem zu lösen.
Was du meinst (bzw. meinen solltest): Du schreibst die Vektoren jeweils als Zeilenvektoren in die Matrix, und bedienst dich dann elementarer Zeilenumformungen, um die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen.
Die Zeilen, welche dann nicht zu Nullzeilen geworden sind, fasst du wieder als Spaltenvektoren auf und schreibst sie in ein Tupel, das ist dann eine Basis.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mo 22.02.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
vielen Dank für deine Mühe. Ich gehe morgen drüber und schaue, ob ich alles hinbekomme. ggf melde ich mich nochmal !
Lg,
exe
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Hi nochmal,
> Hallo!
>
> > (a) Schreiben Sie vier verschiedene Basen des [mm]\IR^4[/mm] auf.
> > (b) Finden Sie eine Basis für jeden der gegebenen
> > Unterräume des [mm]\IR^4:[/mm]
> > (i) [mm]W = { (x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 - x_2 + 3x_3 + x_4 = 0}[/mm]
>
> >
> > (ii) [mm]W=\left{x\in\IR^4 : A*x=0\right}[/mm] mit [mm]A=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 5 }[/mm]
>
> >
> > (iii) [mm]W=Span(v_1, v_2, v_3, v_4) v_1=(1,2,0,1) v_2=(0,-3,1,1) v_3=(2,1,1,2) v_4=(3,0,2,3)[/mm]
>
> >
> > Hi,
> >
> > also es fängt im Prinzip schon bei der ersten Aufgabe an.
> > Ich kann natürlich eine Basis finden, die Standardbasis,
> > aber danach wird es dann schon schwieriger. Die Bedingungen
> > sind mir bekannt. Wie gehe ich denn dort am schlausten vor
> > ? Kann man das ganze etwas systematisch machen ?
>
> Natürlich
> Also, eine Basis hast du schon genannt,
>
> [mm]\left(\vektor{1\\0\\0\\0},\vektor{0\\1\\0\\0},\vektor{0\\0\\1\\0},\vektor{0\\0\\0\\1}\right)[/mm]
>
> Wenn du nun einfach ein Vielfaches von einem Vektor bildest
> und diesen mit dem ursprünglichem austauschst, verändert
> sich der aufgespannte Raum nicht! (Zumindest über dem
> Körper [mm]\IR).[/mm]
> Wenn du zwei Vektoren aus der Basis nimmst, addierst, und
> dann den Ergebnisvektor mit einem der beiden benutzten
> Vektoren austauschst, verändert sich der aufgespannte Raum
> nicht!
>
> Mach' dir das klar, und du kannst Tausende von Basen
> aufschreiben.
>
> > Bei dem Gleichungsystem habe ich dann gar keine Ahnung.
>
> Zu (i):
> Du hast die Gleichung gegeben:
>
> [mm]x_1 - x_2 + 3x_3 + x_4 = 0[/mm]
>
> Das heißt, deinen Vektoren [mm](x_1,x_2,x_3,x_4)[/mm] wird eine
> Bedingung auferlegt, damit sie zum Untervektorraum W
> gehören dürfen. Die Lösungsmenge dieses
> "Gleichungssystems" (Es ist ein Gleichungssystem, das nur
> aus einer Gleichung besteht), ist also der Untervektorraum
> W, denn alle Vektoren [mm](x_1,x_2,x_3,x_4),[/mm] welche diese
> Gleichung erfüllen, sind ja im Untervektorraum W drin.
>
> Also müssen wir das Gleichungssystem lösen. Da wir vier
> Unbekannte haben, aber nur eine Gleichung, dürfen wir drei
> Parameter frei wählen.
>
> Wähle [mm]x_4 = \lambda\in\IR[/mm], [mm]x_3 = \mu\in\IR[/mm], [mm]x_2 = \eta\in\IR[/mm].
>
> Dann ergibt sich aus der Gleichung für [mm]x_1:[/mm]
>
> [mm]x_1 - x_2 + 3x_3 + x_4 = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_1 = x_2 - 3x_3 - x_4 = \eta - 3*\mu - \lambda[/mm].
>
> Also erfüllen alle Vektoren der Form
>
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\x_4} = \vektor{\eta - 3*\mu - \lambda\\ \eta \\ \mu \\ \lanmbda}[/mm]
>
> Das Gleichungssystem, den Raum W könnten wir also auch
> schreiben als:
>
> [mm]W = \{\vektor{\eta - 3*\mu - \lambda\\ \eta \\ \mu \\ \lambda}, \lambda,\mu,\eta\in\IR\}[/mm]
>
> Indem wir nun den Vektor "auseinanderziehen", nach den
> einzelnen Parametern, erhalten wir automatisch die gesuchte
> Basis!
>
> [mm]= \{\lambda*\vektor{-1\\0\\0\\1} + \mu*\vektor{-3\\0\\1\\0} + \eta*\vektor{1\\1\\0\\0}, \lambda,\mu,\eta\in\IR\}[/mm]
>
> Du solltest das zur Sicherheit nochmal nachrechnen, könnte
> sein, dass ich mich verrechnet habe.
> Was ist nun die Basis von W?
(a) und (b i) habe ich erledigt. danke dafür !
> Zu (ii):
>
> Der Untervektorraum W von [mm]\IR^{4}[/mm] wird hier charakterisiert
> durch die Gleichung
>
> [mm]A*x = 0[/mm]
>
> Das bedeutet, jeder Vektor [mm]x\in\IR^{4},[/mm] der die Gleichung
> erfüllt, ist auch im Untervektorraum W.
> Du musst also den Kern der Matrix A bestimmen, das ist der
> gesuchte Untervektorraum W!
> Es entsteht wieder ein Gleichungssystem, diesmal aber eben
> mit 3 Gleichungen, dann aber dasselbe Prinzip wie bei (i).
Was meinst du mit Kern einer Matrix ? Der begriff ist mir nicht bekannt, kannst du das nochmal erklären ?
> > (iii) ist zu schaffen. Hier würde ich die Vektoren also
> > Zeilen einer Matrix schreiben und das Gleichungsystem
> > lösen, dabei kann ich mehrere Vektoren (eventuell
> > rausschmeißen).
>
> Hier gibt es kein Gleichungssystem zu lösen.
> Was du meinst (bzw. meinen solltest): Du schreibst die
> Vektoren jeweils als Zeilenvektoren in die Matrix, und
> bedienst dich dann elementarer Zeilenumformungen, um die
> Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen.
> Die Zeilen, welche dann nicht zu Nullzeilen geworden sind,
> fasst du wieder als Spaltenvektoren auf und schreibst sie
> in ein Tupel, das ist dann eine Basis.
>
> Grüße,
> Stefan
lg,
exe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> > Zu (ii):
> >
> > Der Untervektorraum W von [mm]\IR^{4}[/mm] wird hier charakterisiert
> > durch die Gleichung
> >
> > [mm]A*x = 0[/mm]
> >
> > Das bedeutet, jeder Vektor [mm]x\in\IR^{4},[/mm] der die Gleichung
> > erfüllt, ist auch im Untervektorraum W.
> > Du musst also den Kern der Matrix A bestimmen, das ist
> der
> > gesuchte Untervektorraum W!
> > Es entsteht wieder ein Gleichungssystem, diesmal aber
> eben
> > mit 3 Gleichungen, dann aber dasselbe Prinzip wie bei (i).
>
> Was meinst du mit Kern einer Matrix ? Der begriff ist mir
> nicht bekannt, kannst du das nochmal erklären ?
Mit dem Kern einer Matrix [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix A über einem Körper K ist einfach der Kern der dazugehörigen linearen Abbildung [mm] $K^n\to K^m, x\mapsto [/mm] A*x$ gemeint. Also gilt [mm] $\operatorname{Kern}(A)=\{x\in K^n\;|\;A*x=0\}$. [/mm] Hier in der Aufgabe ist also [mm] $\operatorname{Kern}(A)=W$.
[/mm]
Der Hinweis mit dem Kern hätte dir weiter geholfen, falls du schon öfter bewusst Kerne von Matrizen bestimmt hättest. So gilt es halt das Gleichungssystem $A*x=0$ zu lösen und eine Basis des Lösungsraumes anzugeben.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Mi 24.02.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
alles klar. es liegt einfach daran, dass ich hier alles auf englisch mache. manche deutschen begriffe sind mir einfach nicht geläufig.
Vielen Dank für deine Mühe !!
Lg
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