Basen eines Moduls < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:47 Mo 07.05.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | | Sei R Ring mit Einselement und sei F ein endlich erzeugter Links R-Modul. Zeigen Sie, dass jede Basis von F endlich ist. |
Mein Vorgehen wäre:
Ich habe also einen Modul.
Dieser ist def. als abelsche Gruppe (M, +) auf der die multiplikative Halbgruppe von R von links operiert, so dass zus. folgendes gilt:
1. r(u+v)=ru+rv für alle r [mm] \in [/mm] R, u,v [mm] \in [/mm] M
2. (r+s)u=ru+su für alle r,s [mm] \in [/mm] R, u [mm] \inM
[/mm]
Wenn der Modul jetzt endlich erzeugt ist, dann gibt es
r1,..,rn für die gilt r1u1+...+rnun=0
wobei die triviale Nulllösung ausgeschlossen ist, denn es handelt sich ja schließlich um eine Basis.
Jedes r lässt sich wiederum schreiben bspw. als r= r1-r2.
Damit sind die r's endlich erzeugt, soweit ich das verstanden habe und damit sind die u's lin. unabhängig, also Basis von F und mit den endlichen r's ist diese Basis ebenfalls endlich.
Ist das brauchbar?
Danke und Grüße
Matthias
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Sa 12.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Es wäre hilfreich gewesen, wenn Du angibst, wie die Deine/ Eure Definition eines Basis lautet.
Um Dir klar zu machen, warum man hier nicht direkt von einem endlichen erzeugenden System durch "Weglassen" von Erzeugern zu einer Basis kommt, noch folgendes Beispiel:
Nimm den Z Modul der von
[mm] $(9,0)^t, (15,0)^t, (0,4)^t, (0,6)^t$ [/mm] erzeugt ist.
Eine Basis als Z-Modul wäre beispielsweise:
[mm] $(3,0)^t,(0,2)^t$
[/mm]
|
|
|
|
