Basen eines Lösungsraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Fr 03.01.2014 | | Autor: | linaaa |
| Aufgabe | Wir betrachten folgendes Gleichungssystem einmal über [mm] \IQ [/mm] und einmal über [mm] \IF_3:
[/mm]
[mm] x_1+2x_2+2x_3=0
[/mm]
[mm] x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0
[/mm]
[mm] x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5=0
[/mm]
[mm] 2x_1+2x_3+x_4=0.
[/mm]
Bestimmen Sie jeweils (für [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IF_3) [/mm] Basen des Lösungsraums dieses Gleichungssytems. |
Brauche bitte Hilfe zu dieser Übungsaufgabe. Also zunächst weiß ich ja, dass eine Basis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist. Somit habe ich zunächst die lineare Unabhängigkeit geprüft, also das LGS gelöst und geschaut, dass [mm] x_i \not= [/mm] 0 ist für alle i. Mein Ergebnis ist [mm] x_1=0, x_2=t \in \IQ [/mm] bzw. [mm] \IF_3, x_3=-t, x_4=2t [/mm] und [mm] x_5=-t. [/mm] Somit ist das Gleichungssystem linear unabhängig. Nun muss ich noch prüfen, dass V=<S> gilt für S [mm] \subseteq [/mm] V. Also dass V die Menge aller möglichen Linearkombinationen ist.
Wie muss ich konkret weiter vorgehen? Mir sind die Begriffe Erzeugendensystem, Basis (Menge von Vektoren, in die alle andren zerlegt werden können) klar, ich weiß aber nicht wie ich bei einer Aufgabe konkret vorgehen muss, um eine mögliche Basis zu bestimmten.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Auch dir ein freundliches "Hallo",
> Wir betrachten folgendes Gleichungssystem einmal über [mm]\IQ[/mm]
> und einmal über [mm]\IF_3:[/mm]
> [mm]x_1+2x_2+2x_3=0[/mm]
> [mm]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0[/mm]
> [mm]x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5=0[/mm]
> [mm]2x_1+2x_3+x_4=0.[/mm]
> Bestimmen Sie jeweils (für [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IF_3)[/mm] Basen des
> Lösungsraums dieses Gleichungssytems.
> Brauche bitte Hilfe zu dieser Übungsaufgabe. Also
> zunächst weiß ich ja, dass eine Basis ein linear
> unabhängiges Erzeugendensystem ist. Somit habe ich
> zunächst die lineare Unabhängigkeit geprüft, also das
> LGS gelöst und geschaut, dass [mm]x_i \not=[/mm] 0 ist für alle i.
> Mein Ergebnis ist [mm]x_1=0, x_2=t \in \IQ[/mm]
???
Was ist mit den anderen Komponenten?
Wie sieht ein Lösungsvektor [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}[/mm] aus?
> bzw. [mm]\IF_3, x_3=-t, x_4=2t[/mm]
> und [mm]x_5=-t.[/mm] Somit ist das Gleichungssystem linear
> unabhängig.
Was soll das bedeuten?
Ich kenne den Begriff "Lineare Unabh." nur für Vektroen ...
> Nun muss ich noch prüfen, dass V=<S> gilt
> für S [mm]\subseteq[/mm] V. Also dass V die Menge aller möglichen
> Linearkombinationen ist.
> Wie muss ich konkret weiter vorgehen? Mir sind die Begriffe
> Erzeugendensystem, Basis (Menge von Vektoren, in die alle
> andren zerlegt werden können) klar, ich weiß aber nicht
> wie ich bei einer Aufgabe konkret vorgehen muss, um eine
> mögliche Basis zu bestimmten.
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
> Liebe Grüße
Du musst mal die komplette Lösung bestimmen.
Wenn ich das richtig sehe, hast du im ersten Fall 2 freie Parameter.
Ein Lösungsvektor [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}[/mm] wird also von der Form [mm]s\cdot{}\vektor{\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\\\alpha_4\\\alpha_5}+t\cdot{}\vektor{\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\\\beta_4\\\beta_5}[/mm] sein mit [mm]s,t\in\IQ[/mm]
Dann ist der Lösungsraum der Spann der beiden Vektoren [mm]\vektor{\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\\\alpha_4\\\alpha_5}[/mm] und [mm]\vektor{\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\\\beta_4\\\beta_5}[/mm]
Diese werden die (eine) gesuchte Basis sein ...
Rechne erstmal das LGS hier komplett vor und zuende ...
Erst über [mm]\IQ[/mm], dann über [mm]\IF_3[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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