Basen einer lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Fr 17.06.2011 | | Autor: | sytest |
| Aufgabe | Sei [mm] \pi:\IR^{3}\to\IR^{3} [/mm] die lineare Abbildung mit:
[mm] \pi(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=\vektor{2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] \pi(\vektor{1 \\ 0 \\ 1})=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \pi(\vektor{1 \\ 0 \\ -1})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
a) Geben Sie eine Abbildungsmatrix [mm] \pi [/mm] bezüglich einer beliebigen Basis B des [mm] \IR^{3} [/mm] an.
b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von [mm] \pi [/mm] bezüglich der Standardbasis des [mm] \IR^{3}. [/mm] |
Hi,
ich kämpfe im Moment mit den Basen einer linearen Abbildung.
Soweit ich weiß ist ja jede Abbildungsmatrix einer lineare Abbildung durch eine geordnete Basis im Urbildraum und eine geordnete Basis im Bildraum eindeutig bestimmt.
Die angegebene Aufgabe macht mir bei der Lösung jedoch noch einiges an Problemen (direkt der Hinweis: Es geht mir nicht um die Lösung der Teilaufgabe, denn diese besitze ich, sondern um das Verständnis dieses Themas).
Nun zu meinen Gedanken:
Man sieht direkt, dass die drei Vektoren des Urbildraums den [mm] \IR^{3} [/mm] aufspannen, also eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] sind. Demnach dachte ich mir ich nehme ganz einfach die gegebenen Bildvektoren und baue mit ihnen die folgende Abbildungsmatrix:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0}
[/mm]
Die Basis des Urbildraumes dieser Abbildungsmatrix ist mir klar, diese war ja schließlich gegeben (einfach die 3 Vektoren des Urbildraumes aus der Aufgabenstellung). Aber zu welcher Basis im Bildraum stimmt diese Abbildungsmatrix nun? Der Standardbasis oder der gleichen Basis wie die des Urbildraumes oder einer komplett anderen Basis?
Die Lösung schlägt hier vor, die Abbildungsmatrix wie folgt zu berechnen:
Es werden auch die 3 Vektoren des Urbildraumes als Basis des Urbildraumes genutzt, allerdings werden die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix wie folgt berechnet:
[mm] \pi(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})= [/mm] 2 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] => Erste Spalte der Abbildunsmatrix ist [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
usw...
Insgesamt kommt man dann auf diese Abbildungsmatrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0}
[/mm]
Was wurde hier gemacht? Die Basis des Urbildraumes der Abbildungsmatrix dürfte ja weiterhin den drei gegebenen Vektoren entsprechen, also muss der Bildraum eine andere Basis haben (welche?)?
Dann zu Aufgabenteil b):
Hier erstmal eine generelle Frage: In Aufgabenstellungen heißt es oft "bezüglich der Standardbasis des xyz". Eine Abbildungsmatrix hängt doch von 2 Basen ab (der Basis im Urbildraum und der Basis im Bildraum), ist hier dann gemeint, dass beide Basen Standardbasen in ihren Vektorräumen sind?
An dieser Stelle höre ich erstmal auf und hoffe auf ein paar hilfreiche Hinweise/Antworten/Tipps zu dem Thema :)
Danke vorab ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Sei [mm]\pi:\IR^{3}\to\IR^{3}[/mm] die lineare Abbildung mit:
> [mm]\pi(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\pi(\vektor{1 \\ 0 \\ 1})=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\pi(\vektor{1 \\ 0 \\ -1})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> a) Geben Sie eine Abbildungsmatrix [mm]\pi[/mm] bezüglich einer
> beliebigen Basis B des [mm]\IR^{3}[/mm] an.
> b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von [mm]\pi[/mm] bezüglich
> der Standardbasis des [mm]\IR^{3}.[/mm]
> Hi,
> ich kämpfe im Moment mit den Basen einer linearen
> Abbildung.
Eigentlich "hat" eine lineare Abbildung keine Basis. Man kann eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen nur bezüglich verschiedener Basen im Urbildraum und Bildraum darstellen. Du kannst ja auch die Basen wechseln, ohne dabei die Abbildung zu verändern. Daher ist es von der Ausdrucksweise her falsch von der Basis einer linearen Abbildung zu sprechen.
> Soweit ich weiß ist ja jede Abbildungsmatrix einer
> lineare Abbildung durch eine geordnete Basis im Urbildraum
> und eine geordnete Basis im Bildraum eindeutig bestimmt.
Sie ist eindeutig bestimmt, wenn ihr Bild auf jedem Basiselement einer Basis der Urbildraumes festgelegt ist. Diese Festlegung natürlich bezüglich einer Basis im Bildraum, in der du die Bilder der Basisvektoren des Urbildraums dann darstellen kannst.
Also wichtig: Die lineare Abbildung ist nich durch die Basen von Urbildraum und Bildraum bestimmt, sondern durch die Bilder der Basiselemente einer Basis des Urbildraums im Bildraum. Diese Bilder müssen jedoch keine Basis des Bildraums sein.
> Die angegebene Aufgabe macht mir bei der Lösung jedoch
> noch einiges an Problemen (direkt der Hinweis: Es geht mir
> nicht um die Lösung der Teilaufgabe, denn diese besitze
> ich, sondern um das Verständnis dieses Themas).
>
> Nun zu meinen Gedanken:
> Man sieht direkt, dass die drei Vektoren des Urbildraums
> den [mm]\IR^{3}[/mm] aufspannen, also eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] sind.
Genau. Und die Bilder der Basisvektoren sind angegeben. Das definiert die lineare Abbildung eindeutig.
> Demnach dachte ich mir ich nehme ganz einfach die gegebenen
> Bildvektoren und baue mit ihnen die folgende
> Abbildungsmatrix:
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0}[/mm]
> Die Basis
> des Urbildraumes dieser Abbildungsmatrix ist mir klar,
> diese war ja schließlich gegeben (einfach die 3 Vektoren
> des Urbildraumes aus der Aufgabenstellung). Aber zu welcher
> Basis im Bildraum stimmt diese Abbildungsmatrix nun? Der
> Standardbasis oder der gleichen Basis wie die des
> Urbildraumes oder einer komplett anderen Basis?
Der Standardbasis. Die Bildvektoren der Urbildraumbasis, die in der Aufgabenstellung gegeben sind, sind doch auch bezüglich der Standardbasis gegeben. Und diese Bildvektoren schreibst du ja in die Spalten.
> Die Lösung schlägt hier vor, die Abbildungsmatrix wie
> folgt zu berechnen:
> Es werden auch die 3 Vektoren des Urbildraumes als Basis
> des Urbildraumes genutzt, allerdings werden die
> Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix wie folgt berechnet:
> [mm]\pi(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=[/mm] 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] =>
> Erste Spalte der Abbildunsmatrix ist [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> usw...
> Insgesamt kommt man dann auf diese Abbildungsmatrix:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0}[/mm]
> Was wurde
> hier gemacht? Die Basis des Urbildraumes der
> Abbildungsmatrix dürfte ja weiterhin den drei gegebenen
> Vektoren entsprechen, also muss der Bildraum eine andere
> Basis haben (welche?)?
Als Basis des Bildraums wurde nun die gleiche Basis wie die des Urbildraum gewählt. Bezüglich dieser Basis hat das Bild des ersten Basisvektors [mm] $\vektor{2 \\ 0 \\ 2}$ [/mm] die Koordinaten (0,2,0), da [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] eben genau der zweite Basisvektor deiner Basis ist.
> Dann zu Aufgabenteil b):
> Hier erstmal eine generelle Frage: In Aufgabenstellungen
> heißt es oft "bezüglich der Standardbasis des xyz". Eine
> Abbildungsmatrix hängt doch von 2 Basen ab (der Basis im
> Urbildraum und der Basis im Bildraum), ist hier dann
> gemeint, dass beide Basen Standardbasen in ihren
> Vektorräumen sind?
Hier sind Bildraum und Urbildraum eben gleich. Daher die Standardbasis des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Sa 18.06.2011 | | Autor: | sytest |
Zunächst Danke für die Antwort :)
Im Folgenden werde ich nur noch Ausschnitte zitieren um den Artikel etwas übersichtlich zu halten, ich hoffe das ist in Ordnung ;)
> Eigentlich "hat" eine lineare Abbildung keine Basis. Man kann eine
> lineare Abbildung zwischen Vektorräumen nur bezüglich verschiedener
> Basen im Urbildraum und Bildraum darstellen. Du kannst ja auch die
> Basen wechseln, ohne dabei die Abbildung zu verändern. Daher ist es
> von der Ausdrucksweise her falsch von der Basis einer linearen Abbildung
> zu sprechen.
Hier muss ich kurz blöd nachfragen - ich vermute du wolltest damit nicht sagen, dass ich die Basen der Abbildungsmatrix ändern kann, ohne die Abbildungsmatrix zu ändern, sondern nur darauf hinweisen, dass es eben ungenau/falsch formuliert war?
> > Demnach dachte ich mir ich nehme ganz einfach die gegebenen
> > Bildvektoren und baue mit ihnen die folgende
> > Abbildungsmatrix:
> > [mm]\pmat{ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0}[/mm]
> > Die
> Basis
> > des Urbildraumes dieser Abbildungsmatrix ist mir klar,
> > diese war ja schließlich gegeben (einfach die 3 Vektoren
> > des Urbildraumes aus der Aufgabenstellung). Aber zu welcher
> > Basis im Bildraum stimmt diese Abbildungsmatrix nun? Der
> > Standardbasis oder der gleichen Basis wie die des
> > Urbildraumes oder einer komplett anderen Basis?
>
> Der Standardbasis. Die Bildvektoren der Urbildraumbasis,
> die in der Aufgabenstellung gegeben sind, sind doch auch
> bezüglich der Standardbasis gegeben. Und diese
> Bildvektoren schreibst du ja in die Spalten.
Klingt logisch :)
Allerdings habe ich mir für diesen Fall folgende Gedanken gemacht:
Nehmen wir an ich nehme diese Abbildungsmatrix und möchte nun Aufgabenteil b) bearbeiten, also eine Abbildungsmatrix von [mm] \pi [/mm] bezüglich der Standardbasis des [mm] \IR^{3} [/mm] erstellen.
Dazu nochmal Bestandsaufnahme:
Ich habe ein [mm] \pi\in [/mm] Hom(V,W) (V, W sind Untervektorräume des [mm] \IR^{3}).
[/mm]
Diese Abbildung [mm] \pi [/mm] habe ich durch die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis [mm] B1=(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1}) [/mm] von V und [mm] P1=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] von W (<- Standardbasis, wie du ja sagtest) gegeben.
Nun möchte ich eine neue Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis des [mm] \IR^{3} [/mm] erstellen (dies sollte ja sowohl durch einzelnes ausrechnen, als auch durch Anwenden dieser Regeln möglich sein: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia zu Basiswechsel?).
Ich möchte es erstmal "Schritt für Schritt" machen:
Die neuen Basen der Abbildungsmatrix von V und W sind nun also [mm] B2=P2=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}).
[/mm]
Nun kann ich den ersten Vektor der neuen Basis B2 ja als Linearkombination der Basisvektoren von B1 darstellen:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}=0*\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] 1/2*\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] 1/2*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
Nun hab ich den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 1/2 \\ 1/2} [/mm] mit der Abbildungsmatrix multipliziert, und mit dem Ergebnis [mm] \vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1/2} [/mm] sollte ich doch das Bild des ersten Basisvektors von B2 haben, also
[mm] \pi(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1/2}
[/mm]
?
Und da mein P1 = P2 ist, müsste dies doch auch der erste Spaltenvektor der neuen Abbildunsmatrix sein?
Mache ich dies nun mit allen Vektoren von B2, erhalte ich folgende Abbildungsmatrix:
1/2 * [mm] \pmat{ -1 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 }
[/mm]
=> Würdest du mir zustimmen, dass das "passt"? Und ist folgender Schluss richtig:
Rang der neuen Abbildungsmatrix ist 2, also ist die dim(Bild [mm] \pi)=2, [/mm] also dim(Kern [mm] \pi) [/mm] = 1 (wie auch an [mm] \pi(\vektor{1 \\ 0 \\ -1})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] aus der Aufgabenstellung zu sehen ist), also sprechen diese "Übereinstimmungen" schonmal für meine Matrix?
> > Die Lösung schlägt hier vor, die Abbildungsmatrix wie
> > folgt zu berechnen:
> > Es werden auch die 3 Vektoren des Urbildraumes als
> Basis
> > des Urbildraumes genutzt, allerdings werden die
> > Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix wie folgt berechnet:
> > [mm]\pi(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=[/mm] 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] =>
> > Erste Spalte der Abbildunsmatrix ist [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > usw...
> > Insgesamt kommt man dann auf diese Abbildungsmatrix:
> > [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0}[/mm]
> > Was
> wurde
> > hier gemacht? Die Basis des Urbildraumes der
> > Abbildungsmatrix dürfte ja weiterhin den drei gegebenen
> > Vektoren entsprechen, also muss der Bildraum eine andere
> > Basis haben (welche?)?
>
> Als Basis des Bildraums wurde nun die gleiche Basis wie die
> des Urbildraum gewählt. Bezüglich dieser Basis hat das
> Bild des ersten Basisvektors [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm] die
> Koordinaten (0,2,0), da [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] eben genau der
> zweite Basisvektor deiner Basis ist.
Hier habe ich nun also bei gleicher Benennung der Vektorräume und Basen wie oben zwei Basen B1 = P1 = [mm] (\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1}).
[/mm]
Möchte ich in diesem Fall ebenfalls die Abbildungsmatrix von [mm] \pi [/mm] bezüglich der Standardbasis des [mm] \IR^{3} [/mm] berechnen, kann ich nun ja mal den Basiswechsel über den Weg aus der Vorlesung/Wikipedia nehmen (hier mangelt es noch sehr an Verständnis für das Vorgehen)?
Falls ja: Wie?
Ich kann dort 2 Fälle herauslesen:
1. Die Abbildung ist ein Homomorphismus und die beiden Basen der ursprünglichen und neuen Abbildungsmatrix sind verschieden.
2. Die Abbildung ist ein Endormorphismus und die beiden Basen der ursprünglichen und neuen Abbildungsmatrix sind gleich.
Ich habe nun einen Homomorphismus mit gleichen Basen, also würde ich das als Spezialfall von 1. sehen.
Gilt dann:
[mm] M_{B2}^{P2} [/mm] (f) = [mm] T_{P2}^{P1} [/mm] * [mm] M_{B1}^{P1} [/mm] (f) * [mm] T_{B1}^{B2} [/mm] mit B2=P2 und B1=P1.
?
Und was mache ich hier eigentlich? Ich nehme ein Element aus V, bilde es mit Identität auf V ab, dann mit der alten Abbildungsmatrix auf W ab und bilde das Ergebnis dann wieder mit der Identität auf W ab?
Ich hoffe die Fragen sind alle verständlich und bedanke mich wieder vorab für Hilfen zu dem Thema :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 So 19.06.2011 | | Autor: | Lippel |
> Zunächst Danke für die Antwort :)
> Im Folgenden werde ich nur noch Ausschnitte zitieren um
> den Artikel etwas übersichtlich zu halten, ich hoffe das
> ist in Ordnung ;)
>
> > Eigentlich "hat" eine lineare Abbildung keine Basis. Man
> kann eine
> > lineare Abbildung zwischen Vektorräumen nur bezüglich
> verschiedener
> > Basen im Urbildraum und Bildraum darstellen. Du kannst ja
> auch die
> > Basen wechseln, ohne dabei die Abbildung zu verändern.
> Daher ist es
> > von der Ausdrucksweise her falsch von der Basis einer
> linearen Abbildung
> > zu sprechen.
>
> Hier muss ich kurz blöd nachfragen - ich vermute du
> wolltest damit nicht sagen, dass ich die Basen der
> Abbildungsmatrix ändern kann, ohne die Abbildungsmatrix zu
> ändern, sondern nur darauf hinweisen, dass es eben
> ungenau/falsch formuliert war?
Nein, natürlich ändert sich die Abbildungsmatrix im allgemeinen. Die Abbildung bleibt aber die gleiche. Es ist wichtig zu erkennen, dass die Abbildungsmatrix eben nur eine Darstellung der Abbildung bezüglich bestimmten Basen von Urbildraum und Bildraum ist. Das wird manchmal nicht sauber getrennt. Man hat eben nur einen basisabhängigen Isomorphismus zwischen dem Vektorraum der Abbildungen und dem Matrizenraum, also z.B. [mm] $End(\IR^3) \cong \IR^{3 \times 3}$, [/mm] wobei der Isomorphismus basisabhängig ist. Änderst du die Basis des VR ändert sich die Abbildung in [mm] $End(\IR^3)$ [/mm] nicht, wohl aber ihre Darstellung in [mm] $\IR^{3 \times 3}$.
[/mm]
> Nehmen wir an ich nehme diese Abbildungsmatrix und möchte
> nun Aufgabenteil b) bearbeiten, also eine Abbildungsmatrix
> von [mm]\pi[/mm] bezüglich der Standardbasis des [mm]\IR^{3}[/mm]
> erstellen.
> Dazu nochmal Bestandsaufnahme:
> Ich habe ein [mm]\pi\in[/mm] Hom(V,W) (V, W sind Untervektorräume
> des [mm]\IR^{3}).[/mm]
> Diese Abbildung [mm]\pi[/mm] habe ich durch die Abbildungsmatrix
> bezüglich der Basis [mm]B1=(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1})[/mm]
> von V und [mm]P1=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
> von W (<- Standardbasis, wie du ja sagtest) gegeben.
> Nun möchte ich eine neue Abbildungsmatrix bezüglich der
> Standardbasis des [mm]\IR^{3}[/mm] erstellen (dies sollte ja sowohl
> durch einzelnes ausrechnen, als auch durch Anwenden dieser
> Regeln möglich sein:
> Wikipedia zu Basiswechsel?).
>
> Ich möchte es erstmal "Schritt für Schritt" machen:
> Die neuen Basen der Abbildungsmatrix von V und W sind nun
> also [mm]B2=P2=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}).[/mm]
>
> Nun kann ich den ersten Vektor der neuen Basis B2 ja als
> Linearkombination der Basisvektoren von B1 darstellen:
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=0*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] +
> [mm]1/2*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + [mm]1/2*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> Nun
> hab ich den Vektor [mm]\vektor{0 \\ 1/2 \\ 1/2}[/mm] mit der
> Abbildungsmatrix multipliziert, und mit dem Ergebnis
> [mm]\vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1/2}[/mm] sollte ich doch das Bild des
> ersten Basisvektors von B2 haben, also
> [mm]\pi(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})[/mm] = [mm]\vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1/2}[/mm]
> ?
> Und da mein P1 = P2 ist, müsste dies doch auch der erste
> Spaltenvektor der neuen Abbildunsmatrix sein?
> Mache ich dies nun mit allen Vektoren von B2, erhalte ich
> folgende Abbildungsmatrix:
> 1/2 * [mm]\pmat{ -1 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 }[/mm]
> =>
> Würdest du mir zustimmen, dass das "passt"?
Ja, das stimmt alles.
> Und ist
> folgender Schluss richtig:
> Rang der neuen Abbildungsmatrix ist 2, also ist die
> dim(Bild [mm]\pi)=2,[/mm] also dim(Kern [mm]\pi)[/mm] = 1 (wie auch an
> [mm]\pi(\vektor{1 \\ 0 \\ -1})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] aus der
> Aufgabenstellung zu sehen ist), also sprechen diese
> "Übereinstimmungen" schonmal für meine Matrix?
Ja, obwohl das natürlich kein Beweis ist, dass deine Matrix korrekt ist.
> Hier habe ich nun also bei gleicher Benennung der
> Vektorräume und Basen wie oben zwei Basen B1 = P1 =
> [mm](\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1}).[/mm]
>
> Möchte ich in diesem Fall ebenfalls die Abbildungsmatrix
> von [mm]\pi[/mm] bezüglich der Standardbasis des [mm]\IR^{3}[/mm] berechnen,
> kann ich nun ja mal den Basiswechsel über den Weg aus der
> Vorlesung/Wikipedia nehmen (hier mangelt es noch sehr an
> Verständnis für das Vorgehen)?
> Falls ja: Wie?
> Ich kann dort 2 Fälle herauslesen:
> 1. Die Abbildung ist ein Homomorphismus und die beiden
> Basen der ursprünglichen und neuen Abbildungsmatrix sind
> verschieden.
> 2. Die Abbildung ist ein Endormorphismus und die beiden
> Basen der ursprünglichen und neuen Abbildungsmatrix sind
> gleich.
> Ich habe nun einen Homomorphismus mit gleichen Basen, also
> würde ich das als Spezialfall von 1. sehen.
Du hast doch einen Endomorphismus von [mm] $\IR^3$.
[/mm]
> Gilt dann:
> [mm]M_{B2}^{P2}[/mm] (f) = [mm]T_{P2}^{P1}[/mm] * [mm]M_{B1}^{P1}[/mm] (f) *
> [mm]T_{B1}^{B2}[/mm] mit B2=P2 und B1=P1.
> ?
Da sind die Basen durcheinander gekommen, schau dir nochmal die Tranformationsformel an. Außerdem möchtest du doch jetzt die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis $S$ bestimmen. Im Bildraum hast du doch schon die Stadardbasis, da musst du also nichts ändern, Du hast also die Matrix [mm] $M^{P1}_S [/mm] (f)$ und möchtest [mm] $M^S_S [/mm] (f)$ bestimmen und bekommst das mithilfe der Transfomrationsformel:
[mm] $M^S_S [/mm] = [mm] T^S_S MM^{P1}_S [/mm] (f) [mm] T^{S}_{P_1}$
[/mm]
[mm] $T^S_S$ [/mm] ist natürlich die Einheitsmatrix, das heißt du musst nur noch [mm] $T^{S}_{P_1}$ [/mm] bestimmen.
> Und was mache ich hier eigentlich? Ich nehme ein Element
> aus V, bilde es mit Identität auf V ab, dann mit der alten
> Abbildungsmatrix auf W ab und bilde das Ergebnis dann
> wieder mit der Identität auf W ab?
Hier würde das sogar stimmen, da V und W gleich sind, im allgemeinen ist das aber Quatsch. Du nimmst ein Element aus V, bildest es wieder nach V ab mit der Identität, auf Matrixebene führst du aber einen Basiswechsel aus von der neuen in die alte Basis, dann bildest du mit der alten Abbildungsmatrix ab und transformierst anschließend dein Bild in die neue Basis.
LG Lippel
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