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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgene Aufgabe möchte ich gerne lösen:
Geben Sie für folgende Vektorräume jeweils eine Basis an:
a) [mm] \{(x_1,x_2,x_3)\in\IR^3: x_1=x_3\}
[/mm]
meine Lösung:
[mm] v_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_2= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
demnach ist das dann wohl ein zweidimensionaler Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] - stimmt das so?
b) [mm] \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\IR^4: x_1+3x_2+2x_4=0, 2x_1+x_2+x_3=0\}
[/mm]
Hier wusste ich nun eigentlich gar nicht, wie ich da eine Basis angeben soll. Ich habe dann mal ein bisschen rumgerechnet und [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] dargestellt. Da kam dann raus:
[mm] x_1=-\bruch{3}{5}x_3+\bruch{2}{5}x_4
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{1}{5}x_3-\bruch{4}{5}x_4
[/mm]
Aber wie komme ich dann auf eine Basis? Ich habe jetzt mal geschrieben:
[mm] v_1= \vektor{-1 \\ 0 \\ 5 \\ 5}
[/mm]
[mm] v_2= \vektor{-3 \\ 0 \\ 5 \\ 5}
[/mm]
aber ich könnte nicht wirklich erklären, warum. Und vor allem weiß ich auch nicht, ob das schon eine Basis ist oder fehlt da noch etwas? Woran erkenne ich das?
c) span [mm] (t^2,t^2+t,t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5) \subset \IR[/mm] [t]
Hier habe ich mir dann überlegt, dass es vielleicht folgendes sein könnte:
[mm] v_1=1
[/mm]
[mm] v_2=t
[/mm]
[mm] v_3=t^2
[/mm]
[mm] v_4=t^5
[/mm]
[mm] v_5=t^7
[/mm]
Ist das richtig so? Gerade kommt mir noch die Idee, dass ich auch statt [mm] v_4 [/mm] und [mm] v_5 [/mm] vllt nur einen Vektor bräuchte, der heißt: [mm] t^5+t^7? [/mm] Allerdings kann ja nur eins von beiden richtig sein, sonst hätte ich ja zwei Basen mit verschiedenen Längen... Also tendiere ich zu meiner letzten Idee, denn [mm] t^5 [/mm] alleine wir ja eigentlich gar nicht erzeugt...
d) [mm] \{f\in Abb(\IR,\IR): f(x)=0 \mbox{bis auf endlich viele} x\in \IR\}
[/mm]
Hier habe ich ein Problem, mir überhaupt diese Funktionen vorzustellen... Ich kann mir nur abschnittsweise definierte Funktionen vorstellen, die halt für "die meisten" x =0 sind. Aber wie könnte man für so etwas allgemein eine Basis angeben? Oder gibt es da noch andere Funktionen, die in dieser Menge liegen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Do 11.08.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Bastiane,
> Hallo!
> Folgene Aufgabe möchte ich gerne lösen:
>
> Geben Sie für folgende Vektorräume jeweils eine Basis an:
> a) [mm]\{(x_1,x_2,x_3)\in\IR^3: x_1=x_3\}[/mm]
>
> meine Lösung:
> [mm]v_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> [mm]v_2= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> demnach ist das dann wohl ein zweidimensionaler
> Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm] - stimmt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\IR^4: x_1+3x_2+2x_4=0, 2x_1+x_2+x_3=0\}[/mm]
>
> Hier wusste ich nun eigentlich gar nicht, wie ich da eine
> Basis angeben soll. Ich habe dann mal ein bisschen
> rumgerechnet und [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_3[/mm] und
> [mm]x_4[/mm] dargestellt. Da kam dann raus:
>
> [mm]x_1=-\bruch{3}{5}x_3+\bruch{2}{5}x_4[/mm]
> [mm]x_2=\bruch{1}{5}x_3-\bruch{4}{5}x_4[/mm]
>
> Aber wie komme ich dann auf eine Basis? Ich habe jetzt mal
> geschrieben:
>
> [mm]v_1= \vektor{-1 \\ 0 \\ 5 \\ 5}[/mm]
> [mm]v_2= \vektor{-3 \\ 0 \\ 5 \\ 5}[/mm]
Du meinst wohl
[mm]v_2= \vektor{0 \\ -3 \\ 5 \\ 5}[/mm]
>
> aber ich könnte nicht wirklich erklären, warum. Und vor
> allem weiß ich auch nicht, ob das schon eine Basis ist oder
> fehlt da noch etwas? Woran erkenne ich das?
Das ist eine Basis. Du kannst ja 2 Variable [mm] (x_3 [/mm] und [mm] x_4) [/mm] unabhängig voneinander frei wählen. [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind dann fest.
Du kannst auch als Basis nehmen:
[mm]v_1= \vektor{-3 \\ 0 \\ 5 \\ 0}[/mm]
[mm]v_2= \vektor{0 \\ -4 \\ 0 \\ 5}[/mm]
Die beiden Vektoren sind ja linear unabhängig.
Du kannst ja auch mal versuchen, eine beliebige Lösung des Gleichungssystems
[mm] (x_1, x_2, x_3, x_4)\ mit\ x_1+3x_2+2x_4=0, 2x_1+x_2+x_3=0 [/mm]
als Linearkombination der beiden Vektoren darzustellen.
>
> c) span [mm](t^2,t^2+t,t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5) \subset \IR[/mm]
> [t]
>
> Hier habe ich mir dann überlegt, dass es vielleicht folgendes sein könnte:
> [mm]v_1=1[/mm]
> [mm]v_2=t[/mm]
> [mm]v_3=t^2[/mm]
> [mm]v_4=t^5[/mm]
> [mm]v_5=t^7[/mm]
>
> Ist das richtig so? Gerade kommt mir noch die Idee, dass ich auch statt [mm]v_4[/mm] und [mm]v_5[/mm] vllt nur einen Vektor bräuchte, der heißt: [mm]t^5+t^7?[/mm] Allerdings kann ja nur eins von beiden richtig sein, sonst hätte ich ja zwei Basen mit verschiedenen Längen... Also tendiere ich zu meiner letzten Idee, denn [mm]t^5[/mm] alleine wir ja eigentlich gar nicht erzeugt...
>
> d) [mm]\{f\in Abb(\IR,\IR): f(x)=0 \mbox{bis auf endlich viele} x\in \IR\}[/mm]
>
> Hier habe ich ein Problem, mir überhaupt diese Funktionen vorzustellen... Ich kann mir nur abschnittsweise definierte Funktionen vorstellen, die halt für "die meisten" x =0 sind. Aber wie könnte man für so etwas allgemein eine Basis angeben? Oder gibt es da noch andere Funktionen, die in dieser Menge liegen?
Ich sehe das so:
Die endlich vielen Stellen, an denen der Funktionswert von 0 verschieden sein kann, nenne ich [mm] x_1, x_2, [/mm] ..., [mm] x_n.
[/mm]
Dann definierst du die Funktionen [mm] f_i, [/mm] die an der Stelle [mm] x_i [/mm] den Wert 1 annimmt und an allen anderen Stellen den Wert 0. Diese Funktionen sind liear unabhängig, da sie alle an einer anderen Stelle den Wert 1 annehmen, und du kannst jede Funktion, die höchstens an den Stellen [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] von 0 verschieden sind, mit deinen [mm] f_i [/mm] erzeugen.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Sigrid!
> > b) [mm]\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\IR^4: x_1+3x_2+2x_4=0, 2x_1+x_2+x_3=0\}[/mm]
>
> >
> > Hier wusste ich nun eigentlich gar nicht, wie ich da eine
> > Basis angeben soll. Ich habe dann mal ein bisschen
> > rumgerechnet und [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_3[/mm] und
> > [mm]x_4[/mm] dargestellt. Da kam dann raus:
> >
> > [mm]x_1=-\bruch{3}{5}x_3+\bruch{2}{5}x_4[/mm]
> > [mm]x_2=\bruch{1}{5}x_3-\bruch{4}{5}x_4[/mm]
> >
> > Aber wie komme ich dann auf eine Basis? Ich habe jetzt mal
> > geschrieben:
> >
> > [mm]v_1= \vektor{-1 \\ 0 \\ 5 \\ 5}[/mm]
> > [mm]v_2= \vektor{-3 \\ 0 \\ 5 \\ 5}[/mm]
>
> Du meinst wohl
>
> [mm]v_2= \vektor{0 \\ -3 \\ 5 \\ 5}[/mm]
Ja, du hast Recht. Da hatte ich wohl nicht mehr aufgepasst... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
> > c) span [mm](t^2,t^2+t,t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5) \subset \IR[/mm]
> > [t]
> >
> > Hier habe ich mir dann überlegt, dass es vielleicht folgendes sein könnte:
> > [mm]v_1=1[/mm]
> > [mm]v_2=t[/mm]
> > [mm]v_3=t^2[/mm]
> > [mm]v_4=t^5[/mm]
> > [mm]v_5=t^7[/mm]
> >
> > Ist das richtig so? Gerade kommt mir noch die Idee, dass ich auch statt [mm]v_4[/mm] und [mm]v_5[/mm] vllt nur einen Vektor bräuchte, der heißt: [mm]t^5+t^7?[/mm] Allerdings kann ja nur eins von beiden richtig sein, sonst hätte ich ja zwei Basen mit verschiedenen Längen... Also tendiere ich zu meiner letzten Idee, denn [mm]t^5[/mm] alleine wir ja eigentlich gar nicht erzeugt...
Wie sieht's denn mit dieser Aufgabe hier aus? Hast du dir nur übersehen oder weißt du das auch nicht?
> > d) [mm]\{f\in Abb(\IR,\IR): f(x)=0 \mbox{bis auf endlich viele} x\in \IR\}[/mm]
> >
> > Hier habe ich ein Problem, mir überhaupt diese Funktionen vorzustellen... Ich kann mir nur abschnittsweise definierte Funktionen vorstellen, die halt für "die meisten" x =0 sind. Aber wie könnte man für so etwas allgemein eine Basis angeben? Oder gibt es da noch andere Funktionen, die in dieser Menge liegen?
>
> Ich sehe das so:
> Die endlich vielen Stellen, an denen der Funktionswert von 0 verschieden sein kann, nenne ich [mm]x_1, x_2,[/mm] ..., [mm]x_n.[/mm]
>
> Dann definierst du die Funktionen [mm]f_i,[/mm] die an der Stelle [mm]x_i[/mm] den Wert 1 annimmt und an allen anderen Stellen den Wert 0. Diese Funktionen sind liear unabhängig, da sie alle an einer anderen Stelle den Wert 1 annehmen, und du kannst jede Funktion, die höchstens an den Stellen [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] von 0 verschieden sind, mit deinen [mm]f_i[/mm] erzeugen.
Nach dem ersten Lesen dachte ich, dass ich das verstehe. Aber jetzt habe ich doch irgendwie ein Problem damit. Verstehe ich das richtig, dass dann z. B. [mm] f_1(1)=1 [/mm] und [mm] f_1(x)=0\; \forall x\not=1? [/mm] Dann weiß ich nur gerade irgendwie nicht, wie ich z. B. die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] darstelle. Irgendwie habe ich mit meinen [mm] f_i [/mm] ja dann doch nur konstante Funktionen - jedenfalls sehe ich das im Moment irgendwie so. Könntest du da vielleicht ein Beispiel machen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Do 11.08.2005 | | Autor: | Sigrid |
Liebe Bastiane,
> > > b) [mm]\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\IR^4: x_1+3x_2+2x_4=0, 2x_1+x_2+x_3=0\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hier wusste ich nun eigentlich gar nicht, wie ich da eine
> > > Basis angeben soll. Ich habe dann mal ein bisschen
> > > rumgerechnet und [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_3[/mm] und
> > > [mm]x_4[/mm] dargestellt. Da kam dann raus:
> > >
> > > [mm]x_1=-\bruch{3}{5}x_3+\bruch{2}{5}x_4[/mm]
> > > [mm]x_2=\bruch{1}{5}x_3-\bruch{4}{5}x_4[/mm]
> > >
> > > Aber wie komme ich dann auf eine Basis? Ich habe jetzt mal
> > > geschrieben:
> > >
> > > [mm]v_1= \vektor{-1 \\ 0 \\ 5 \\ 5}[/mm]
> > > [mm]v_2= \vektor{-3 \\ 0 \\ 5 \\ 5}[/mm]
>
> >
> > Du meinst wohl
> >
> > [mm]v_2= \vektor{0 \\ -3 \\ 5 \\ 5}[/mm]
>
> Ja, du hast Recht. Da hatte ich wohl nicht mehr
> aufgepasst...
>
> > > c) span [mm](t^2,t^2+t,t^2+1,t^2+t+1,t^7+t^5) \subset \IR[/mm]
> > > [t]
> > >
> > > Hier habe ich mir dann überlegt, dass es vielleicht folgendes sein könnte:
> > > [mm]v_1=1[/mm]
> > > [mm]v_2=t[/mm]
> > > [mm]v_3=t^2[/mm]
> > > [mm]v_4=t^5[/mm]
> > > [mm]v_5=t^7[/mm]
> > >
> > > Ist das richtig so? Gerade kommt mir noch die Idee, dass ich auch statt [mm]v_4[/mm] und [mm]v_5[/mm] vllt nur einen Vektor bräuchte, der heißt: [mm]t^5+t^7?[/mm] Allerdings kann ja nur eins von beiden richtig sein, sonst hätte ich ja zwei Basen mit verschiedenen Längen... Also tendiere ich zu meiner letzten Idee, denn [mm]t^5[/mm] alleine wir ja eigentlich gar nicht erzeugt...
>
> Wie sieht's denn mit dieser Aufgabe hier aus? Hast du dir nur übersehen oder weißt du das auch nicht?
Sorry, ich hatte eine Antwort, aber die ist wohl beim Umschalten verloren gegangen. Zunächst mal hast du recht, dass [mm] t^5 [/mm] + [mm] t^7 [/mm] ein Basiselement ist, nicht aber [mm] t^5, [/mm] denn das Element [mm] t^5 [/mm] wird ja von den Elementen deines Erzeugendensystems, wie du ja schon gesehen hast, gar nicht erzeugt. Du musst jetzt noch zeigen, dass die Elemente deiner Basis als Linearkombinationen der gegebenen Vektoren darstellbar sind. Die Darstellbarkeit der gegebenen Vektoren durch deine Basisvektoren und die lineare Abhängigkeit sind ja offensichtlich.
Du kannst aber auch die gegebenen Vektoren nehmen und so lange reduziern, bis deine Vektoren linear unabhängig sind.
>
> > > d) [mm]\{f\in Abb(\IR,\IR): f(x)=0 \mbox{bis auf endlich viele} x\in \IR\}[/mm]
> > >
> > > Hier habe ich ein Problem, mir überhaupt diese Funktionen vorzustellen... Ich kann mir nur abschnittsweise definierte Funktionen vorstellen, die halt für "die meisten" x =0 sind. Aber wie könnte man für so etwas allgemein eine Basis angeben? Oder gibt es da noch andere Funktionen, die in dieser Menge liegen?
> >
> > Ich sehe das so:
> > Die endlich vielen Stellen, an denen der Funktionswert von 0 verschieden sein kann, nenne ich [mm]x_1, x_2,[/mm] ..., [mm]x_n.[/mm]
> >
> > Dann definierst du die Funktionen [mm]f_i,[/mm] die an der Stelle [mm]x_i[/mm] den Wert 1 annimmt und an allen anderen Stellen den Wert 0. Diese Funktionen sind linear unabhängig, da sie alle an einer anderen Stelle den Wert 1 annehmen, und du kannst jede Funktion, die höchstens an den Stellen [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] von 0 verschieden sind, mit deinen [mm]f_i[/mm] erzeugen.
>
> Nach dem ersten Lesen dachte ich, dass ich das verstehe. Aber jetzt habe ich doch irgendwie ein Problem damit. Verstehe ich das richtig, dass dann z. B. [mm]f_1(1)=1[/mm] und [mm]f_1(x)=0\; \forall x\not=1?[/mm]
Genau
> Dann weiß ich nur gerade irgendwie nicht, wie ich z. B. die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] darstelle.
Das brauchst du ja auch gar nicht. f(x) = [mm] x^2 [/mm] ist ja an unendlich vielen Stellen von 0 verschieden, gehört also gar nicht zu deiner Menge.
> Irgendwie habe ich mit meinen [mm]f_i[/mm] ja dann doch nur konstante Funktionen - jedenfalls sehe ich das im Moment irgendwie so. Könntest du da vielleicht ein Beispiel machen?
Eine mögliche Funktion ist z.B.
[mm] f(1) = 3 [/mm] ; [mm] f(3,5) = -1 [/mm] ; [mm] f(x) = 0 [/mm] sonst.
Ein Problem habe ich aber inzwischen noch mit der Aufgabe und meiner Lösung. Die endlich vielen Ausnahmen (an denen die Funktion nicht den Wert 0 annimmt) können ja bei den einzelnen Funktionen völlig verschieden sein, damit ist aber die Zahl der x-Werte, an denen wenigstens eine Funktion von 0 verschieden ist, nicht mehr endlich und damit auch die Basis nicht. Das muss ich mir noch mal neu überlegen.
>
>Gruß
Sigrid
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Do 11.08.2005 | | Autor: | mathedman |
> > Ein Problem habe ich aber inzwischen noch mit der Aufgabe
> und meiner > Lösung. Die endlich vielen Ausnahmen (an denen
> die Funktion nicht den > Wert 0 annimmt) können ja bei den
> einzelnen Funktionen völlig
> > verschieden sein, damit ist aber die Zahl der x-Werte, an
> denen
> > wenigstens eine Funktion von 0 verschieden ist, nicht mehr
> endlich
> > und damit auch die Basis nicht.
>
> Das macht nichts.  Der Raum ist unendlichdimensional und
> daher hat auch die Basis eine unendliche Länge.
Es war ja nach der Basis gefragt. Wie sieht die denn hier aus?
Etwa
[mm]\{f_x \mid x \in \IR\}[/mm], wobei
[mm]f_x(y) = 1[/mm] falls [mm]x=y[/mm], [mm]f_x(y) = 0[/mm] sonst?
> Wichtig ist
> nur, dass zur Erzeugung jedes der Elemente des Vektorraums
> nur endlich viele Basiselemente benötigt werden (und das
> ist ja der Fall).
Wichtig wofür?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Do 11.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Es war ja nach der Basis gefragt. Wie sieht die denn hier
> aus?
> Etwa
> [mm]\{f_x \mid x \in \IR\}[/mm], wobei
> [mm]f_x(y) = 1[/mm] falls [mm]x=y[/mm], [mm]f_x(y) = 0[/mm] sonst?
Ja, genau.
> > Wichtig ist
> > nur, dass zur Erzeugung jedes der Elemente des Vektorraums
> > nur endlich viele Basiselemente benötigt werden (und das
> > ist ja der Fall).
>
> Wichtig wofür?
Um sich klarzumachen, dass es eine Basis ist.
Viele Grüße
Stefan
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![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]"){kind=small}
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]"){kind=small}
