Basen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe a:
Sei A = 1 0 0
0 −1 1 E R2×3.
Man bestimme alle Basen C von R2, f¨ur die die darstellende Matrix von fA bez¨uglich der
Standardbasis von R3 und C A ist.
Aufgabe b.
Sei A wie in Aufgabe a. Man bestimme alle Basen B von R3, f¨ur die die darstellende
Matrix von fA bez¨uglich B und der Standardbasis von R2 A ist. |
Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich die Basen bestimmen kann und was die Aufgabe genau von mir verlangt?
Wäre echt lieb...danke im Voraus
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe a:
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> Sei A = 1 0 0
> 0 −1 1 E R2×3.
>
> Man bestimme alle Basen C von R2, f¨ur die die
> darstellende Matrix von fA bez¨uglich der
> Standardbasis von R3 und C A ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ist das die Originalaufgabe im Originalwortlaut?
Sie ist nämlich etwas seltsam.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo ihr beiden,
ich hab die Aufgabe auch gemacht, siehe hier https://matheraum.de/read?i=745010.
lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 } \in \IR^{2 \times 3}.
[/mm]
Man bestimme alle Basen C von [mm] \IR^{2}, [/mm] für die die darstellende Matrix von [mm] f_{A} [/mm] bezüglich der Standardbasis von [mm] \IR^{3} [/mm] C*A ist. |
Guten Abend^^
Also ich hab diese Aufgabe gerechnet,und wüsste gerne ob das so stimmt.Wäre lieb,wenn das jemand überprüfen könnte.
Ich weiß zunächst folgende Dinge:
Die Standardbasis des [mm] \IR^{3} [/mm] ist [mm] S=\{(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})\}.
[/mm]
So,jetzt sollen die Bilder von S durch C dargestellt werden,zunächst aber berechne ich diese Bilder und habe
[mm] f_{A}(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})=\vektor{1 \\ 0},
[/mm]
[mm] f_{A}(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=\vektor{0 \\ -1}
[/mm]
[mm] f_{A}(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Und eine Basis des [mm] \IR^{2} [/mm] ist von der Form [mm] C=\{(\vektor{x_{1} \\ x_{2}}),(\vektor{y_{1} \\ y_{2}})\}.
[/mm]
So und A soll die Darstellungsmatrix sein,d.h. ich kann mit der ersten Spalte von A rechnen:
[mm] 1*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}+0*\vektor{y_{1} \\ y_{2}}=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Daraus bekomme ich ein Gleichungssystem mit
[mm] x_{1}=1 [/mm]
[mm] x_{2}=0 [/mm] und [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm] ist beliebig, für [mm] y_{1},y_{2} \in \IR.
[/mm]
Das gleiche mache ich mit der 2. und 3. Spalte und habe:
für die 2.Spalte:
[mm] 0*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}+(-1)*\vektor{y_{1} \\ y_{2}}=\vektor{0 \\ -1}.
[/mm]
[mm] y_{1}=0,y_{2}=1 [/mm] und [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] beliebig.
und für die 3.Spalte:
[mm] 0*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}+1*\vektor{y_{1} \\ y_{2}}=\vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
[mm] y_{1}=0,y_{2}=1 [/mm] und [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] beliebig, für [mm] x_{1},x_{2} \in \IR, [/mm] wobei ich mir hier unsicher bin,ob die aus den reellen Zahlen sein dürfen,denn dann könnte z.B. [mm] x_{1}=0.73946 [/mm] sein und so eine Zahl steht normalerweise nicht in einer Basis,da stehen eigentlich immer ganze Zaheln.
Kann man das etwa so machen?
So,und wenn ich mir das jetzt so anschaue,dann könnte ich doch sagen,dass [mm] C=\{(\vektor{1 \\ x_{2}}),(\vektor{0 \\ 1})\} [/mm] alle gesuchte Basen sind,da [mm] x_{2} [/mm] beliebig ist und eine relle? Zahl sein kann.
Hab ich die Aufgabe so richtig gelöst?
Vielen Dank
lg
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> Sei [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 } \in \IR^{2 \times 3}.[/mm]
>
> Man bestimme alle Basen C von [mm]\IR^{2},[/mm] für die die
> darstellende Matrix von [mm]f_{A}[/mm] bezüglich der Standardbasis
> von [mm]\IR^{3}[/mm] C*A ist.
> Guten Abend^^
>
> Also ich hab diese Aufgabe gerechnet,und wüsste gerne ob
> das so stimmt.Wäre lieb,wenn das jemand überprüfen
> könnte.
>
> Ich weiß zunächst folgende Dinge:
>
> Die Standardbasis des [mm]\IR^{3}[/mm] ist [mm]S=\{(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})\}.[/mm]
>
> So,jetzt sollen die Bilder von S durch C dargestellt
> werden,zunächst aber berechne ich diese Bilder und habe
> [mm]f_{A}(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})=\vektor{1 \\ 0},[/mm]
>
> [mm]f_{A}(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=\vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]f_{A}(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
Kannst du hier vllt genau angeben, was man da rechen muss? ich weiß nicht, wie man darauf kommt...
lg
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Hallo,
> > So,jetzt sollen die Bilder von S durch C dargestellt
> > werden,zunächst aber berechne ich diese Bilder und habe
> > [mm]f_{A}(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})=\vektor{1 \\ 0},[/mm]
> >
> > [mm]f_{A}(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=\vektor{0 \\ -1}[/mm]
> >
> > [mm]f_{A}(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> >
> Kannst du hier vllt genau angeben, was man da rechen muss?
> ich weiß nicht, wie man darauf kommt...
>
Ja,da multiplizierst du einfach die Matrix A mit dem Vektor,also
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 }*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und so machst du das auch mit den anderen beiden.
lg
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> > Sei [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & -1 } \in \IR^{2 \times 3}.[/mm]
> > So,jetzt sollen die Bilder von S durch C dargestellt
> > werden,zunächst aber berechne ich diese Bilder und habe
> > [mm]f_{A}(\vektor{1 \\
0 \\
0})=\vektor{1 \\
0},[/mm]
> >
> > [mm]f_{A}(\vektor{0 \\
1 \\
0})=\vektor{0 \\
-1}[/mm]
> >
> > [mm]f_{A}(\vektor{0 \\
0 \\
1})=\vektor{0 \\
1}[/mm]
> >
> Kannst du hier vllt genau angeben, was man da rechen muss?
> ich weiß nicht, wie man darauf kommt...
Hallo,
.
Beachte, daß Mandy einen Tippfehler in der Matrix hat.
In Wahrheit meint sie [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 } [/mm] .
Vielleicht ist damit Deine Frage geklärt.
Gruß v. Angela
>
>
> lg
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> Sei [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & \red{+}1 } \in \IR^{2 \times 3}.[/mm]
>
> Man bestimme alle Basen C von [mm]\IR^{2},[/mm] für die die
> darstellende Matrix von [mm]f_{A}[/mm] bezüglich der Standardbasis
> von [mm]\IR^{3}[/mm] und C die Matrix A ist.
Hallo,
wie gesagt: ich finde den Aufgabentext irgendwie ziemlich seltsam.
Es ist [mm] f_A [/mm] eine Abbildung aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] mit
[mm] f_A(x):=Ax=\vektor{x_1\\-x_2+x_3}
[/mm]
> Ich weiß zunächst folgende Dinge:
>
> Die Standardbasis des [mm]\IR^{3}[/mm] ist [mm]S=\{(\vektor{1 \\
0 \\
0}),(\vektor{0 \\
1 \\
0}),(\vektor{0 \\
0 \\
1})\}.[/mm]
>
> So,jetzt sollen die Bilder von S durch C dargestellt
> werden,zunächst aber berechne ich diese Bilder und habe
> [mm]f_{A}(\vektor{1 \\
0 \\
0})=\vektor{1 \\
0},[/mm]
>
> [mm]f_{A}(\vektor{0 \\
1 \\
0})=\vektor{0 \\
-1}[/mm]
>
> [mm]f_{A}(\vektor{0 \\
0 \\
1})=\vektor{0 \\
1}[/mm]
Die Bilder sind in Koordinaten bzgl der Standardbasis des [mm] \IR^2.
[/mm]
>
> Und eine Basis des [mm]\IR^{2}[/mm] ist von der Form
> [mm]C=\{(\vektor{x_{1} \\
x_{2}}),(\vektor{y_{1} \\
y_{2}})\}.[/mm]
wobei die beiden Vektoren linear unabhängig sein müssen.
>
> So und A soll die Darstellungsmatrix
von [mm] f_A [/mm] auch bezüglich S und C sein
> sein,d.h. ich kann mit
> der ersten Spalte von A rechnen:
>
> [mm]1*\vektor{x_{1} \\
x_{2}}+0*\vektor{y_{1} \\
y_{2}}=\vektor{1 \\
0}[/mm]
>
> Daraus bekomme ich ein Gleichungssystem mit
> [mm]x_{1}=1[/mm]
> [mm]x_{2}=0[/mm] und [mm]\vektor{y_{1} \\
y_{2}}[/mm] ist beliebig, für
> [mm]y_{1},y_{2} \in \IR.[/mm]
>
> Das gleiche mache ich mit der 2. und 3. Spalte und habe:
>
> für die 2.Spalte:
> [mm]0*\vektor{x_{1} \\
x_{2}}+(-1)*\vektor{y_{1} \\
y_{2}}=\vektor{0 \\
-1}.[/mm]
>
> [mm]y_{1}=0,y_{2}=1[/mm] und [mm]\vektor{x_{1} \\
x_{2}}[/mm] beliebig.
>
> und für die 3.Spalte:
> [mm]0*\vektor{x_{1} \\
x_{2}}+1*\vektor{y_{1} \\
y_{2}}=\vektor{0 \\
1}.[/mm]
>
> [mm]y_{1}=0,y_{2}=1[/mm] und [mm]\vektor{x_{1} \\
x_{2}}[/mm] beliebig, für
> [mm]x_{1},x_{2} \in \IR,[/mm] wobei ich mir hier unsicher bin,ob die
> aus den reellen Zahlen sein dürfen,
Klar, wir sind doch im [mm] \IR^2.
[/mm]
> denn dann könnte z.B.
> [mm]x_{1}=0.73946[/mm] sein und so eine Zahl steht normalerweise
> nicht in einer Basis,da stehen eigentlich immer ganze
> Zaheln.
Das ist bloß, damit die Studenten nicht sofort verzweifelt ins Wasser gehen.
> Kann man das etwa so machen?
>
> So,und wenn ich mir das jetzt so anschaue,dann könnte ich
> doch sagen,dass [mm]C=\{(\vektor{1 \\
x_{2}}),(\vektor{0 \\
1})\}[/mm]
> alle gesuchte Basen sind,da [mm]x_{2}[/mm] beliebig ist und eine
> relle? Zahl sein kann.
Du hattest doch ausgerechnet, daß [mm] x_2=0 [/mm] ist. (?)
>
> Hab ich die Aufgabe so richtig gelöst?
Mal abgesehen von dem einen Fehler: ja.
Vorausgesetzt natürlich, die Aufgabe war so gemeint.
(Ich denke, daß dies der Fall ist).
Du hast nun festgestellt: es gibt nur die eine Basis C, nämlich die Standardbasis, so daß die darstellende Matrix der Abbildung [mm] f_A [/mm] bzgl S und C gerade die Matrix A ist.
Gruß v. Angela
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> Aufgabe a:
>
> Sei A = 1 0 0
> 0 −1 1 E R2×3.
>
> Man bestimme alle Basen C von R2, f¨ur die die
> darstellende Matrix von fA bez¨uglich der
> Standardbasis von R3 und C A ist.
>
> Aufgabe b.
>
> Sei A wie in Aufgabe a. Man bestimme alle Basen B von R3,
> f¨ur die die darstellende
> Matrix von fA bez¨uglich B und der Standardbasis von R2 A
> ist.
> Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich die Basen
> bestimmen kann und was die Aufgabe genau von mir verlangt?
Hallo,
ich fand's auch schwer, das Verlangte herauszufinden, aber ich denke, daß Mandy mit ihrer Interpretation richtig liegt.
Du hast hier eine Matrix A, und Du weißt, daß durch [mm] f_A(x):=Ax [/mm] eine lineare Abbildung definiert wird.
Es ist A die darstellende Matrix von [mm] f_A [/mm] bzgl der Standardbasen [mm] S_3 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \IR^2.
[/mm]
Die Frage ist nun: gibt es eine weitere Basis C des [mm] \IR^2, [/mm] so daß A die Darstellungsmatrix von [mm] f_A [/mm] bzgl [mm] S_3 [/mm] und C ist?
Dieser Frage ist Mandy auf den Grund gegangen, und wenn sie ihr Fehlerchen ausgebügelt hat, dann wird sie feststellen: nein.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 So 05.12.2010 | | Autor: | freaky_91 |
vielen dank, das bringt mich jetzt wirklich weit :)
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hab jetzt noch eine Frage und zwar: wie kann ich denn den zweiten Teil der Aufgabe machen, da habe ich ja eine Basisvon R hoch 2, wie soll ich dann hier die Bilder berechnen
geht es zum Beispiel so:
1 0 0 1
0 -1 1 * 0
aber wie soll ich denn das ausrechnen, die Matrix hat 3 Spalten und mein Vektor hat nur 2 Zeilen?
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> hab jetzt noch eine Frage und zwar: wie kann ich denn den
> zweiten Teil der Aufgabe machen, da habe ich ja eine
> Basisvon R hoch 2, wie soll ich dann hier die Bilder
> berechnen
> geht es zum Beispiel so:
>
> 1 0 0 1
> 0 -1 1 * 0
>
> aber wie soll ich denn das ausrechnen, die Matrix hat 3
> Spalten und mein Vektor hat nur 2 Zeilen?
Hallo,
eine [mm] 2\times [/mm] 3-Matrix beschreibt immer eine Abbildung aus einem dreidimensionalen Vektorraum in einen zweidimensionlen.
[mm] f_A [/mm] haben wir ja schon angeschaut, und die Frage ist jetzt:
gibt es eine Basis B des [mm] \IR^3 [/mm] so, daß A die darstellende Matrix von [mm] f_A [/mm] bzgl B und der Standardbasis [mm] S_2 [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Gesucht sind also sämtliche Basen B des [mm] \IR^3, [/mm] für die das zutrifft.
Man kann diese Frage sicher verschieden bearbeiten, ich greife einfach mal Mandys Ansatz auf.
Gesucht ist [mm] B:=(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}, \vektor{y_1\\y_2\\y_3}, \vektor{z_1\\z_2\\z_3}), [/mm] so daß A Darstellungsmatrix ist.
Gruß v. Angela
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