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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Incibus |
| Aufgabe | Gegeben seine die Vektoren: [mm] x_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1} x_{2}=\vektor{-1 \\ 1 \\-4 } x_{3}=\vektor{4 \\ 9 \\ 3}
[/mm]
Geben sie drei unterschiedliche Basen A,B und C der Menge LH [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] an. |
wie würden diese Basen aussehen und wie hab ich vorzugehen?
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> Gegeben seine die Vektoren: [mm]x_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1} x_{2}=\vektor{-1 \\ 1 \\-4 } x_{3}=\vektor{4 \\ 9 \\ 3}[/mm]
>
> Geben sie drei unterschiedliche Basen A,B und C der Menge
> LH [mm](x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] an.
> wie würden diese Basen aussehen und wie hab ich
> vorzugehen?
Hallo,
klar ist ja schonmal, daß die drei Vektoren ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle bilden.
Als nächstes solltest Du herausfinden, welche der drei Vektoren eine Basis dieser Hülle bilden. Kannst Du auf einen verzichten? Auf zwei? Sind alle drei linear unabhängig?
Wenn Du eine Basis gefunden hast, kennst Du schonmal die Dimension Deiner LH und weißt, wieviele Elemente die anderen Basen haben müssen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Incibus |
Also nach meiner Rechnung sind zwei der drei Vektoren linear unabhängig. das bedeutet doch dann dass ich zwei brauche um eine basis der linearen Hülle zu bekommen.
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> Also nach meiner Rechnung sind die 3 Vektoren linear
> unabhängig. das bedeutet doch dann dass ich alle 3 brauche
> um eine basis des [mm]R^3[/mm] zu bekommen.
> Verstehe ich da jetzt was falsch oder könnte ich dann als
> basis A: [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] wählen und als Basis B z.B. B:
> [mm]2*x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] ???
Hallo,
ja der Rang der von den Koordinaten der Vektoren aufgespannten Matrix =2, also hat die lineare Hülle die Dimension 2.
Wenn Du Dir die Sache genau anschaust, siehst Du, daß Du aus [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] drei Basen der linearen Hülle bilden kannst.
Die drei Vektoren sind paarweise unabhängig, aber mitnichten sind sie all drei unabhängig. (Daß es das gibt, lohnt es sich zu merken. Der falsche Schluß "die Vektoren sind paarweise unabhängig ==> sie sind unabhängig" ist ziemlich beliebt.)
Gruß v. Angela
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