Banach'scher Fixpunktsatz/Satz von Picard-Lindelöf < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Wollte mal fragen, ob mir vielleicht mal jemand erklären kann, was sowohl der Banach`sche Fixpunktsatz als auch der Satz von Picard-Lindelöf aussagt und wofür ich ihn brauche und was ich damit zeigen oder berechnen kann? Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Fr 25.06.2004 | | Autor: | andreas |
hi Eva
der banach'sche fixpunkt satz sagt etwas aus über die existenz und eindeutigkeit eines fixpunktes einer kontrahierenden abbildung.
z.b. ist [m] f: [-1, 1] \longrightarrow \mathbb{R} [/m] mit [m] x \longmapsto \frac{1}{2}x [/m] eine abbildung, auf die der banachsche fixpunktsatz angewendet werden kann, da [m] \| f(x) - f(y) \| \leq \frac{1}{2} \|x - y \| \quad \forall \, x, y \in [-1, 1] [/m] und somit [m] f [/m] eine kontraktion ist, sowie [m] f([-1, 1]) \subset [-1, 1] [/m] und damit also das bild der definitionsmenge eine teilmenge der definitionsmenge ist.
damit erhältst du aus dem banachschen fixpunktsatz, dass es genau einen fixpunk, also genau ein [m] x_0 \in [-1, 1] [/m] mit [m] f(x_0) = x_0 [/m], gibt. bei diesem trivialen beispiel sieht man diesen auch sofort.
im allgemeinen wird dieser satz häufig zu beweisen von anderen sätzen, wie z.b. dem satz von picard-lindelöf oder dem satz über implizite funktionen (also deren lokale auflösbarkeit) verwandt. auch spielt er in der nummerik bei der lösung nicht-linearer probleme eine rolle, da diese häufig zu fixpunktproblemen umformuliert werden können (nullstellensuche, also newtonverfahren, etc.)
der satz von picard-lindelöf sagte etwas über die existenz und eindeutigkeit der lösung von differentialgleichungen erster ordnung ([m] y' = f(x, y) [/m]) mit anfangsbedingung (also [m] y(x_0) = y_0 [/m]) aus, die bestimmten eigenschaften genügen (lipschitz-stetigkeit). dieser satz garantiert dann eine eindeutige lösung (und liefert sogar ein konstruktives verfahren für die approximation dieser lösung, auch wenn dieses nicht sonderlich effizient ist).
vielleicht kannst du ja mit diesen informationen schon etwas anfangen, sonst melde dich nochmal.
andreas
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