Banachscher Fixpunktsatz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:39 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Sasia |
Hallo,
was genau kann man aus dem Banachschen Fixpunktsatz für das Newton-Verfahren folgern?
Saskia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sasia,
Was sagt der Banachsche Fixpunktsatz denn aus?
Welchen Fixpunkt hat den das Newtonverfahren?
Oder welche eigenen Ideen hast Du denn?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Do 03.03.2005 | | Autor: | Sasia |
Der Banachsche Fixpunktsatz besagt:
Sei F auf [a; b] stetig.
Wenn
(1) für beliebiges x [mm] \subseteq [/mm] [a; b] auch F(x) [mm] \subseteq [/mm] (a; b) ist, und
(2) es eine Konstante 0 < L < 1 gibt, so daß für beliebige [mm] x_{1}; x_{2} \subseteq [/mm] [a; b] gilt,
|F(x1) - F(x2)| [mm] \leL|x1 [/mm] - x2|
dann besitzt x = F(x) genau einen Fixpunkt x* [mm] \subseteq [/mm] [a; b], und die Iterationsfolge hxni mit xn+1 =
F(xn), n = 0; 1; 2; :::, konvergiert für jeden Startwert x0 [mm] \subseteq [/mm] [a; b] gegen die Lösung x*.
Das Newton-Verfahren ist ein Verfahren um sich Nullstellen anzunähern.
Das Newton-Verfahren greift zur Annäherung an Nullstellen auf Tangenten zurück. Der Berührpunkt der Tangenten mit dem Graphen der Funktion ergibt sich dabei aus dem Funktionswert des Ausgangswertes. Die Nullstelle der ersten Tangente dient dann als Ausgangswert der folgenden Tangente usw.
Dabei ergibt sich die Iterationsvorschrift
[mm] x_{n+1}=x- \bruch{f(x)}{f'(x)}
[/mm]
Aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes kann man jetzt wohl Folgerungen für das Newton-Verfahren in Bezug auf Konvergenz oder die Wahl des Startwertes ziehen.
Allerdings weiß ich nicht, wie das aussehen kann, bzw. wie das dargestellt werden kann.
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Hallo,
du bist ja auf dem richtigen Weg.
Wenn der Banachsche Fixpunktsatz erfüllt ist, so gibt es zumindest einen Fixpunkt gegen den eine Folge konvergieren könnte.
Wenn man dann das Newton Verfahren nimmt und eine Folge konstruiert,
ist die Frage unter welchen Bedingungen diese gegen den Fixpunkt konvergiert.
Und das Newton Verfahren hat keine globale Konvergenz (d.h. du kannst irgendwo starten und kommst schon beim Fixpunkt an) sondern lokale
Konvergenz (d.h. du musst schon in der Nähe starten, um Konvergenz zu erreichen).
Wenn du nun aus dem Banachschen Fixpunktsatz schon die Intervallgrenzen a,b hast, dann und dort Konvergenz herrscht, so wird
auch das Newton Verfahren in diesem Bereich lokal konvergieren.
Gruß
marthasmith
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Sasia |
OK, das habe ich soweit verstanden.
Vielen Dank!!!
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