Banachscher Fixpunktsatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 Do 07.06.2007 | | Autor: | Coco84 |
| Aufgabe | Sei G [mm] \subset \IR^{2} [/mm] offen und f [mm] \in C^{1}(G, \IR^{n}), [/mm] f habe einen Fixpunkt c [mm] \in [/mm] G mit [mm] \parallelDf(c)\parallel [/mm] < 1. Zeige, dass c ein attraktiver Fixpunkt ist, dh [mm] \exists \varepsilon [/mm] >0, so dass [mm] \forall x_{0} \in B_{ \varepsilon }(c) [/mm] die Iterationsfolge [mm] (x_{k}) [/mm] mit [mm] x_{k+1}:= F(x_{k}) [/mm] definiert ist und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_{k} [/mm] =c gilt.
Hinweis: Wähle q [mm] \in [/mm] [0,1), [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit [mm] \parallelDf(x)\parallel \le [/mm] q [mm] \forall x\in B_{ \varepsilon }(c). [/mm] |
Hallo zusammen!
Uns ist hier nicht so ganz klar, was der Unterschied zwischen einem normalen Fixpunkt und einem attraktiven Fixpunkt ist (hat das was mit der Umgebung um den Fixpunkt c zu tun?).
Wie genau können wir uns die Funktion vorstellen, damit wir hier den Banachschen Fixpunktsatz bzw die Kontraktion anwenden können?
Vielen Dank!
Coco
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Um dir den Unterschied zu verdeutlichen, denke an eine lineare Abbildung: da ist der Nullpunkt ein Fixpunkt, aber nicht notwendig attraktiv, etwa wenn man es mit einer Drehung zu tun hat. Beispiel für einen attraktiven Fixpunkt: die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] am Nullpunkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 09.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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