Banachschen Fixpunktsatz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Mi 29.04.2015 | | Autor: | checky |
| Aufgabe | | Wie kann ich mit dem Banachschen Fixpunktsatz für folgende Gleichung [mm] x^6 [/mm] -3x+1 = 0 zeigen das sie auf bestimmten Intervallen genau eine Lösung hat? |
Also zu zeigen ist, dass mit dem Banachschen Fixpunktsatz die Gleichung [mm] x^6-3x+1=0 [/mm] in den Intervallen [mm] \I I_{1} [/mm] = [ 0, 2/3] und [mm] \I I_{2}= [/mm] [1, [mm] \infty] [/mm] jeweils genau eine Lösung a bzw b hat.
Geben sie jeweils ein Iterationsverfahren der Form
[mm] x\_{n+1}=f(x\_{n} [/mm] , wobei n [mm] \element \IN [/mm] , und x1 = c und geeigneter Startwerte c zur Betsimmung von aund b.
Nach wieviel Iterationen beträgt der Abstand |x n − b | zur zweiten L ösung mit Sicherheit nur noch maximal ein Tausendstel des ursprünglichen Abstandes |a− b |?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Mi 29.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] I_1:
[/mm]
Setze [mm] f(x)=\bruch{x^6}{6}+\bruch{x}{2}+\bruch{1}{6}
[/mm]
Wenn ich mich nicht ganz vertan hab, so gilt (zeige das !):
1. [mm] f(I_1) \subseteq I_1;
[/mm]
2. f ist auf [mm] I_1 [/mm] kontrahierend.
Mit Banach folgt: es gibt genau ein [mm] x_0 \in I_1 [/mm] mit [mm] f(x_0)=x_0
[/mm]
Dann ist $ [mm] x_0^6 -3x_0+1 [/mm] = 0$
FRED
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