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Banachsche Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 So 02.05.2010
Autor: Docci

Aufgabe
Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] eine differenzierbare Funktion, die eine der beiden folgenden Eigenschaften besitzt:
(i) [mm] |f'(x)|\le\alpha [/mm] oder (ii) [mm] f'(x)\ge\beta [/mm]
für [mm] x\in\IR [/mm] mit festen Konstanten [mm] 0<\alpha<1 [/mm] und [mm] \beta>1 [/mm]
Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass die Gleichung f(x)=x in beiden Fällen genau eine Lösung [mm] x\in\IR [/mm] besitzt

Hallo!
ich weiß, dass es normalerweise üblich ist eigene Lösungsansätze oder Ideen anzubringen, aber bei dieser Aufgabe fehlen mir leider jegliche Ideen. Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen!

MfG
Doc

        
Bezug
Banachsche Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 So 02.05.2010
Autor: SEcki


>  ich weiß, dass es normalerweise üblich ist eigene
> Lösungsansätze oder Ideen anzubringen, aber bei dieser
> Aufgabe fehlen mir leider jegliche Ideen. Ich hoffe Ihr
> könnt mir weiterhelfen!

1. Fall: die Funktion ist Lipschitz-stetig. Mit welcher Konstante? Was sagt uns der BNF?

2. Fall: wende 1. auf die umkehr-Funktion von f an.

SEcki

Bezug
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