Banachraum - Definition prüfen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei X ein Banachraum und $ [mm] T:X\to [/mm] $ X stetig und linear mit ||T|| < 1. Sei S definiert durch S:= $ [mm] \summe_{n=0}^\infty T^n [/mm] $
zeigen sie:
S(x) ist für alle [mm] x\in [/mm] X wohldefiniert |
hallo,
ist meine lösung so richtig?
[mm] ||\bruch{T^{n+1}(x)}{T^n(x)}||=||\bruch{T(T^n(x))}{T^n(x)}||=sup_{x\in X}||\bruch{T(x)}{x}||=||T||<1
[/mm]
also folgt die behauptung nach der quotientenregel
gruß ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Fr 29.05.2009 | | Autor: | moody |
Hallo,
bitte nächstes Mal einen etwas konkreteren Frage - Titel.
"Ist das richtig?"
"Hilfe!!"
etc.
wird meistens weniger Beachtung geschenkt.
lg moody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Fr 29.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein Banachraum und [mm]T:X\to[/mm] X stetig und linear mit
> ||T|| < 1. Sei S definiert durch S:= [mm]\summe_{n=0}^\infty T^n[/mm]
>
> zeigen sie:
> S(x) ist für alle [mm]x\in[/mm] X wohldefiniert
> hallo,
>
> ist meine lösung so richtig?
>
> [mm]||\bruch{T^{n+1}(x)}{T^n(x)}||=||\bruch{T(T^n(x))}{T^n(x)}||=sup_{x\in X}||\bruch{T(x)}{x}||=||T||<1[/mm]
Mein Gott ! Entschuldige bitte, aber das ist völliger Unsinn. Du dividierst durch Elemente eines Bannachraumes !!!
1.Da X ein Bannachraum ist, ist auch L(X) = {A:X [mm] \to [/mm] X: A ist stetig und linear} ein Banachraum (ist Dir das klar ?)
2. Wegen ||T|| < 1 und [mm] ||T^n|| \le ||T||^n [/mm] für jedes n, ist die Zahlenreihe
$ [mm] \summe_{n=0}^\infty ||T^n|| [/mm] $ konvergent (geometrische Reihe). Da L(X) ein Banachraum ist , ist somit
$ [mm] \summe_{n=0}^\infty T^n [/mm] $
eine in L(X) konvergente Operatorenreihe , und somit ist S wohldefiniert.
FRED
>
> also folgt die behauptung nach der quotientenregel
>
>
> gruß ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
was ist denn wenn man das so schreibt:
$ [mm] \bruch{||T^{n+1}(x)||}{||T^n(x)||}=\bruch{||T(T^n(x))||}{||T^n(x)||}=sup_{x\in X}\bruch{||T(x)||}{||x||}||=||T||<1 [/mm] $
könnte man die behauptung dann durch die quot.regel folgern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Fr 29.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> was ist denn wenn man das so schreibt:
>
> [mm]\bruch{||T^{n+1}(x)||}{||T^n(x)||}=\bruch{||T(T^n(x))||}{||T^n(x)||}=sup_{x\in X}\bruch{||T(x)||}{||x||}||=||T||<1[/mm]
Das ist schon besser, aber immer noch nicht ganz korrekt.
[mm] $\bruch{||T^{n+1}(x)||}{||T^n(x)||} \le \bruch{||T||*||T^{n}(x)||}{||T^n(x)||} [/mm] = ||T|| <1$
Mit dem Quotientenkriterium folgt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}||T^nx||
[/mm]
konvergiert für jedes x in X. Da X ein Banachraum ist, konvergiert
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}T^nx [/mm] für jedes x in X
FRED
>
> könnte man die behauptung dann durch die quot.regel
> folgern?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
besten dank :)
Da X ein Banachraum ist, konvergiert
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}T^nx [/mm] $ für jedes x in X
hier fließt auch die vollständigkeit mit ein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Fr 29.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja !
Ist [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in einem Banachraum und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}||x_n|| [/mm] konvergent, so kovergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}x_n
[/mm]
Kurz: in einem Banachraum gilt:
$absolute ~Konvergenz~ einer~ Reihe [mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz~ der~ Reihe$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
alles klar. besten dank für die hilfe ;)
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